برای نوشتن سری فوریه تابع $|x|$ با دوره تناوب $-\pi < x < \pi$، ابتدا مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

1. تابع $|x|$ یک تابع زوج است.

چون $|x| = |-x|$، این تابع زوج است. بنابراین سری فوریه آن فقط شامل ضرایب کسینوسی می‌شود، یعنی:

$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx)$

2. محاسبه ضریب $a_0$:

ضریب $a_0$ برابر است با مقدار میانگین تابع در بازه‌ی یک دوره: $a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |x| \, dx$

چون $|x|$ یک تابع زوج است: $a_0 = \frac{2}{2\pi} \int_{0}^{\pi} x \, dx = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{\pi} = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{2} = \frac{\pi}{2}.$

3. محاسبه ضرایب $a_n$:

برای ضرایب کسینوسی $a_n$ داریم: $a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |x| \cos(nx) \, dx$

باز هم به دلیل زوج بودن تابع، این انتگرال را می‌توان به بازه $[0, \pi]$ محدود کرد: $a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \cos(nx) \, dx.$

برای حل این انتگرال، از روش انتگرال‌گیری جزئی استفاده می‌کنیم: $\int x \cos(nx) \, dx = \frac{x \sin(nx)}{n} - \frac{1}{n} \int \sin(nx) \, dx.$ انتگرال دوم: $\int \sin(nx) \, dx = -\frac{\cos(nx)}{n}.$ بنابراین: $\int x \cos(nx) \, dx = \frac{x \sin(nx)}{n} + \frac{\cos(nx)}{n^2}.$

حالا مقادیر مرزی را جای‌گذاری می‌کنیم: $a_n = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x \sin(nx)}{n} + \frac{\cos(nx)}{n^2} \right]_0^{\pi}.$

با توجه به اینکه $\sin(n\pi) = 0$ و $\cos(n\pi) = (-1)^n$، داریم: $a_n = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{\pi \cdot 0}{n} + \frac{(-1)^n}{n^2} - \frac{0}{n} - \frac{1}{n^2} \right].$ بنابراین: $a_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{(-1)^n - 1}{n^2}.$

4. سری فوریه:

با توجه به ضرایب محاسبه‌شده: $|x| = \frac{\pi}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{\pi} \cdot \frac{(-1)^n - 1}{n^2} \cos(nx).$

این سری فوریه تابع $|x|$ در بازه $-\pi < x < \pi$ است.

---

آیا توضیحات بیشتری نیاز دارید؟

5 سوال مرتبط:

1. چرا تابع زوج فقط شامل ضرایب کسینوسی است؟
2. چگونه می‌توان سری فوریه تابع $|x|$ را برای بازه‌ای دیگر پیدا کرد؟
3. اگر تابع $|x|$ نابرابر دوره تناوبی باشد، چه تفاوتی در سری فوریه ایجاد می‌شود؟
4. آیا می‌توان سری فوریه را به صورت تقریبی برای یک مقدار خاص از $x$ محاسبه کرد؟
5. چرا ضرایب $b_n$ برای تابع زوج صفر می‌شوند؟

نکته:

برای افزایش سرعت محاسبه سری فوریه، از خاصیت تقارن و ساده‌سازی ضرایب استفاده کنید.