Math Problem Statement

Разложи любую функцию которая легко раскладывается (кроме x^n и тригонометрических функций) в ряд фурье используя a0, an, bn (исходя из четности функции их может и не быть) на интервале [-pi,pi]

Solution

Рассмотрим функцию f(x)=xf(x) = |x|, определённую на интервале [π,π][- \pi, \pi]. Это функция чётная, поэтому её разложение в ряд Фурье будет содержать только a0a_0 и ana_n, а bn=0b_n = 0.

Формулы разложения:

  1. a0=1πππf(x)dxa_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \, dx
  2. an=1πππf(x)cos(nx)dxa_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx) \, dx
  3. bn=1πππf(x)sin(nx)dx=0b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx) \, dx = 0 (для чётной функции)

Теперь найдём a0a_0 и ana_n:

Шаг 1: Вычисление a0a_0

a0=1πππxdxa_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi |x| \, dx Из-за чётности функции интеграл можно переписать как удвоенный интеграл на половине интервала: a0=2π0πxdx=2π[x22]0π=2ππ22=πa_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x \, dx = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^\pi = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{2} = \pi

Шаг 2: Вычисление ana_n

an=1πππxcos(nx)dxa_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi |x| \cos(nx) \, dx Из-за чётности функции: an=2π0πxcos(nx)dxa_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x \cos(nx) \, dx Используем интегрирование по частям: u=x,dv=cos(nx)dxu = x, \, dv = \cos(nx) dx, тогда du=dx,v=sin(nx)ndu = dx, \, v = \frac{\sin(nx)}{n}. xcos(nx)dx=xsin(nx)nsin(nx)ndx=xsin(nx)n+cos(nx)n2\int x \cos(nx) dx = x \cdot \frac{\sin(nx)}{n} - \int \frac{\sin(nx)}{n} dx = \frac{x \sin(nx)}{n} + \frac{\cos(nx)}{n^2} Подставляем пределы интегрирования 00 и π\pi: an=2π[πsin(nπ)n+cos(nπ)n2(0sin(0)n+cos(0)n2)]a_n = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{\pi \sin(n\pi)}{n} + \frac{\cos(n\pi)}{n^2} - \left( \frac{0 \cdot \sin(0)}{n} + \frac{\cos(0)}{n^2} \right) \right] Учитывая, что sin(nπ)=0\sin(n\pi) = 0, cos(nπ)=(1)n\cos(n\pi) = (-1)^n, cos(0)=1\cos(0) = 1, остаётся: an=2π[(1)nn21n2]=2π(1)n1n2a_n = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{(-1)^n}{n^2} - \frac{1}{n^2} \right] = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{(-1)^n - 1}{n^2} Если nn чётное, то (1)n1=0(-1)^n - 1 = 0, и an=0a_n = 0. Если nn нечётное, то (1)n1=2(-1)^n - 1 = -2, и: an=4πn2a_n = \frac{-4}{\pi n^2}

Итоговое разложение

Ряд Фурье функции x|x| имеет вид: f(x)=a02+n=1ancos(nx)f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(nx) Подставляем значения: f(x)=π24πn=1nнечётноеcos(nx)n2f(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{\substack{n=1 \\ n \, \text{нечётное}}}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^2}


Хотите подробности по вычислениям?

Вопросы для размышления:

  1. Как интерпретировать чётность и нечётность функции в разложении Фурье?
  2. Почему для функции x|x| коэффициенты bnb_n равны нулю?
  3. Как изменится разложение, если интервал изменить на [0,π][0, \pi]?
  4. Какие функции чаще всего раскладываются в ряд Фурье?
  5. Как связаны ряды Фурье с энергетическим спектром сигнала?

Совет: при решении задач на разложение Фурье всегда обращайте внимание на симметрию функции – это существенно упрощает вычисления.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Fourier Series
Even Functions
Integration
Calculus

Formulas

a_0 = (1/pi) * integral from -pi to pi of f(x) dx
a_n = (1/pi) * integral from -pi to pi of f(x) * cos(nx) dx
b_n = (1/pi) * integral from -pi to pi of f(x) * sin(nx) dx

Theorems

Fourier Series for even functions
Integration by parts

Suitable Grade Level

University (Advanced Calculus or Mathematical Analysis)