wyznacz wartość kąta ostrego aslfa dla którego (sin alfa + pierwiastek z 3 cos alfa)/cos alfa = 1

Mamy równanie:

\[
\frac{\sin \alpha + \sqrt{3} \cos \alpha}{\cos \alpha} = 1
\]

Aby je uprościć, pomnóżmy obie strony przez \(\cos \alpha\) (przy założeniu, że \(\cos \alpha \neq 0\)):

\[
\sin \alpha + \sqrt{3} \cos \alpha = \cos \alpha
\]

Teraz możemy przenieść \(\sqrt{3} \cos \alpha\) na prawą stronę:

\[
\sin \alpha = \cos \alpha - \sqrt{3} \cos \alpha
\]

\[
\sin \alpha = \cos \alpha (1 - \sqrt{3})
\]

Teraz podzielmy obie strony przez \(\cos \alpha\) (ponownie przy założeniu, że \(\cos \alpha \neq 0\)):

\[
\tan \alpha = 1 - \sqrt{3}
\]

Znajdujemy wartość kąta \(\alpha\) w granicach od 0° do 90°, dla której \(\tan \alpha = 1 - \sqrt{3}\).

Wartość \(1 - \sqrt{3}\) jest ujemna, co oznacza, że kąt \(\alpha\) powinien znajdować się w trzeciej lub czwartej ćwiartce, ale poszukujemy kąta ostrego, więc nie ma takiego kąta ostrego \(\alpha\), dla którego \(\tan \alpha = 1 - \sqrt{3}\).

Zatem, nie istnieje kąt ostry spełniający dane równanie.

Czy masz pytania dotyczące tego rozwiązania?  

Oto pięć pytań związanych z tematem:
1. Jakie są właściwości funkcji tangens?
2. Jakie są inne sposoby na rozwiązanie tego typu równań trygonometrycznych?
3. Co się dzieje, gdy \(\cos \alpha = 0\)?
4. Jak znaleźć kąt w drugiej lub czwartej ćwiartce?
5. Jakie są wartości funkcji trygonometrycznych dla standardowych kątów?

**Porada:** W trygonometrii, przedział wartości kąta wpływa na to, w której ćwiartce układu współrzędnych znajduje się rozwiązanie.

Explore how to find the value of an acute angle α satisfying the equation (sin α + √3 cos α) / cos α = 1. This problem involves trigonometric identities and properties of angles in trigonometry. Discover the step-by-step solution and insights into trigonometric functions.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation