ما به دنبال عددی $x$ هستیم که شرایط زیر را برآورده کند:

1. $x \mod 11 = 6$
2. $x \mod 5 = 0$

مراحل حل:

1. شرط اول: $x \mod 11 = 6$

این نشان می‌دهد که $x$ به صورت زیر قابل نمایش است:
x = 11k + 6 \quad \text{(که در آن k یک عدد صحیح است)}

2. شرط دوم: $x \mod 5 = 0$

این نشان می‌دهد که $x$ مضربی از 5 است:
x = 5m \quad \text{(که در آن m یک عدد صحیح است)}

3. ترکیب دو شرط:

از شرط اول $x = 11k + 6$ را در شرط دوم $x = 5m$ جایگذاری می‌کنیم:
$11k + 6 = 5m$

این معادله را به صورت معادله‌ای نسبت به $k$ و $m$ می‌نویسیم:
$11k = 5m - 6$

برای اطمینان از اینکه معادله صحیح است، $5m - 6$ باید مضربی از 11 باشد:
$5m - 6 \equiv 0 \mod 11$
$5m \equiv 6 \mod 11$

4. حل معادله تطابق:

برای حل $5m \equiv 6 \mod 11$، ابتدا معکوس $5 \mod 11$ را پیدا می‌کنیم. معکوس $5 \mod 11$ عددی است که ضرب آن در 5 برابر 1 به پیمانه 11 باشد.
با امتحان کردن، می‌یابیم که:
$5 \cdot 9 \equiv 45 \equiv 1 \mod 11$
بنابراین، معکوس $5$ برابر $9$ است.

حال معادله را ضرب در 9 می‌کنیم:
$9 \cdot 5m \equiv 9 \cdot 6 \mod 11$
$m \equiv 54 \mod 11$
$m \equiv 10 \mod 11$

بنابراین، $m = 11n + 10$ (که $n$ یک عدد صحیح است).

5. مقدار $x$ را بیابید:

حال $m$ را در $x = 5m$ جایگذاری می‌کنیم:
$x = 5(11n + 10)$
$x = 55n + 50$

برای کوچک‌ترین مقدار $n = 0$:
$x = 50$

پاسخ نهایی:

عدد مورد نظر برابر است با $\boxed{50}$.

---

آیا نیاز به توضیحات بیشتری دارید یا سوال دیگری دارید؟

پرسش‌های مرتبط:

1. اگر عدد به جای 5 بر عدد دیگری بخش‌پذیر باشد، چگونه می‌توان مسئله را حل کرد؟
2. چرا در حل معادله تطابق نیاز به یافتن معکوس پیمانه داریم؟
3. اگر شرایط به $\mod 11 = 6$ و $\mod 7 = 0$ تغییر کند، عدد چه خواهد بود؟
4. آیا الگوریتم باقی‌مانده چینی می‌تواند برای این مسئله استفاده شود؟
5. عددی که $\mod 11 = 6$ و $\mod 3 = 1$ باشد، چیست؟

نکته:

برای حل مسائل مشابه با چند پیمانه، می‌توانید از الگوریتم باقی‌مانده چینی برای یافتن کوچک‌ترین جواب استفاده کنید.