Ratkaise seuraavat kongruenssiyhtälöt ilman Eukleideen algoritmia:
a) 5x ≡ 35 (mod 40),
b) −8x ≡ 10 (mod 12).
Anna vastaukset myös jäännösluokkana. 
Vinkki: Kongruenssiyhtälöitä kannattaa yleensä ensin sieventää mahdollisimman pit-
källe.

Kongruenssiyhtälöiden ratkaisemisessa voidaan usein sieventää yhtälöitä, ennen kuin aletaan etsiä ratkaisua. Käydään läpi kummatkin tehtävät vaiheittain:

### a) \( 5x \equiv 35 \pmod{40} \)

1. **Sievennys**:
   Voimme jakaa molemmat puoliskot 5:llä, mutta ensin tarkistamme, että 5 ja 40 ovat keskenään jaettavissa ilman jäännöstä. Tässä \( 5x \equiv 35 \pmod{40} \), joten voimme jakaa molemmat puolet 5:llä:

   \[
   \frac{5x}{5} \equiv \frac{35}{5} \pmod{\frac{40}{5}}
   \]

   Tämä antaa meille:

   \[
   x \equiv 7 \pmod{8}
   \]

   Nyt meillä on yksinkertaisempi kongruenssi \( x \equiv 7 \pmod{8} \).

2. **Ratkaisu**:
   Tämä tarkoittaa, että \( x \) on muotoa:

   \[
   x = 7 + 8k, \quad k \in \mathbb{Z}
   \]

   eli \( x \) on 7, 15, 23, 31, 39, jne. (kaikki arvot, jotka ovat \( 7 \pmod{8} \)).

### b) \( -8x \equiv 10 \pmod{12} \)

1. **Sievennys**:
   Voimme myös jakaa molemmat puolet -8:lla. Ennen jakamista huomaamme, että -8 ja 12 eivät ole keskenään jaettavissa ilman jäännöstä, mutta voimme ottaa moduliin negatiiviset arvot. Tämä on sama kuin:

   \[
   8x \equiv -10 \pmod{12}
   \]

   ja \( -10 \equiv 2 \pmod{12} \), joten saamme:

   \[
   8x \equiv 2 \pmod{12}
   \]

2. **Jatketaan sieventämistä**:
   Molemmat puolet voidaan jakaa kahdella (koska 8 ja 12 ovat molemmat jaollisia kahdella). Tämä antaa meille:

   \[
   4x \equiv 1 \pmod{6}
   \]

3. **Ratkaisu**:
   Nyt meidän on löydettävä \( x \), joka täyttää \( 4x \equiv 1 \pmod{6} \). Tämä voidaan ratkaista kokeilemalla eri \( x \)-arvoja modulo 6:

   - \( x = 1 \), \( 4 \times 1 = 4 \not\equiv 1 \pmod{6} \)
   - \( x = 2 \), \( 4 \times 2 = 8 \equiv 2 \pmod{6} \)
   - \( x = 3 \), \( 4 \times 3 = 12 \equiv 0 \pmod{6} \)
   - \( x = 4 \), \( 4 \times 4 = 16 \equiv 4 \pmod{6} \)
   - \( x = 5 \), \( 4 \times 5 = 20 \equiv 2 \pmod{6} \)
   - \( x = 6 \), \( 4 \times 6 = 24 \equiv 0 \pmod{6} \)

   Huomaamme, että \( x = 4 \) on ratkaisu, koska \( 4 \times 4 = 16 \equiv 1 \pmod{6} \).

   Joten ratkaisu on \( x \equiv 4 \pmod{6} \).

---

### Yhteenveto

- a) \( 5x \equiv 35 \pmod{40} \) ratkaisu on \( x \equiv 7 \pmod{8} \).
- b) \( -8x \equiv 10 \pmod{12} \) ratkaisu on \( x \equiv 4 \pmod{6} \).

---

**Vinkki**: Muista tarkistaa, että molemmat puolet voivat jakautua samoilla tekijöillä, jotta sieventäminen on mahdollista. Sieventäminen helpottaa monesti ongelman ratkaisua.

---

### Seuraavat kysymykset:
1. Mikä on yleinen kaava kongruenssiyhtälön ratkaisulle \( ax \equiv b \pmod{n} \)?
2. Miten ratkaistaan kongruenssiyhtälöitä, joissa ei voida sieventää suoraan?
3. Miten käsitellään tilanteita, joissa ei ole ratkaisua, kuten \( 5x \equiv 10 \pmod{12} \)?
4. Miten löytää ratkaisu, jos \( \gcd(a, n) > 1 \)?
5. Mitä tapahtuu, jos modulo ei ole alkuluku?

**Vinkki**: Jos kongruenssiyhtälö on vaikea ratkaista, aina kannattaa tarkistaa, voiko yhtälöä sieventää jakamalla molemmat puolet suurimmalla yhteisellä tekijällä.

Ratkaise seuraavat kongruenssiyhtälöt ilman Eukleideen algoritmia: a) 5x ≡ 35 (mod 40), b) −8x ≡ 10 (mod 12). Anna vastaukset myös jäännösluokkana. Vinkki: Kongruenssiyhtälöitä kannattaa yleensä ensin sieventää mahdollisimman pitkälle.

Learn how to solve modular arithmetic equations such as 5x ≡ 35 (mod 40) and -8x ≡ 10 (mod 12) by simplifying them first. This detailed step-by-step solution covers key concepts in modular arithmetic and congruence equations, suitable for high school students in grades 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation