Për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve kongruente:

$x \equiv 5 \pmod{9}$ dhe $x \equiv 8 \pmod{20}$

ne do të përdorim metodën e teoremës së kongruencave (Chinese Remainder Theorem), që ndihmon për të zgjidhur sisteme të tillë kur moduluset janë të pavarura.

1. Krijimi i ekuacioneve të sistemit: Duam të gjejmë një $x$ që kënaq këto dy kushte:

   • $x = 9k + 5$, ku $k$ është një numër i plotë.
   • Dhe gjithashtu, $x \equiv 8 \pmod{20}$, pra $x = 20m + 8$, ku $m$ është gjithashtu një numër i plotë.

2. Zëvendësimi i $x$ nga e para në të dytën: Nga e para, kemi $x = 9k + 5$. Zëvendësojmë këtë në ekuacionin e dytë: $9k + 5 \equiv 8 \pmod{20}$ Zgjidhim këtë kongruencë: $9k \equiv 3 \pmod{20}$

3. Zgjidhja e kongruencës për $k$: Duam të zgjidhim $9k \equiv 3 \pmod{20}$. Për këtë, mund të gjejmë inversin e 9 modulo 20 dhe ta shumëzojmë me 3 për të marrë $k$.

   • Për të gjetur inversin e 9 modulo 20, kërkojmë një numër $i$ të tillë që: $9i \equiv 1 \pmod{20}$
   • Pas disa testimesh ose duke përdorur algoritmin e Euclid-it, gjejmë që $i = 9$, pasi $9 \times 9 = 81 \equiv 1 \pmod{20}$.

4. Shumëzimi për të marrë $k$: Tani, shumëzojmë të dyja anët e kongruencës $9k \equiv 3 \pmod{20}$ me 9: $9 \times 9k \equiv 9 \times 3 \pmod{20}$ Kjo jep: $k \equiv 27 \pmod{20} \quad \Rightarrow \quad k \equiv 7 \pmod{20}$

   Pra, $k = 20n + 7$, ku $n$ është një numër i plotë.

5. Gjetja e $x$: Zëvendësojmë $k = 20n + 7$ në ekuacionin $x = 9k + 5$: $x = 9(20n + 7) + 5 = 180n + 63 + 5 = 180n + 68$

   Kështu që: $x \equiv 68 \pmod{180}$

Përgjigja:

Zgjidhja për $x$ është $x \equiv 68 \pmod{180}$.

Nëse do të keni nevojë për ndihmë të mëtejshme ose shpjegime për çdo hap, më tregoni!

Pyetje të tjera:

1. Si mund të përdorim teoremën e kongruencave të Kinës në një sistem më të komplikuar?
2. Cilat janë disa mundësi të tjera për të zgjidhur ekuacione kongruente nëse moduluset nuk janë të pavarura?
3. Si mund të llogarisim inversin e një numri modulo një numri tjetër?
4. Çfarë ndodhi nëse moduluset janë të njëjta (p.sh. $9$ dhe $9$)?
5. Si mund të gjejmë zgjidhje për sisteme ekuacionesh lineare nëse moduluset janë të ndryshëm?

Këshillë: Kur përdorni teoremën e kongruencave të Kinës, sigurohuni që moduluset të jenë të pavarura (pa faktorë të përbashkët), sepse kjo është një kusht i rëndësishëm për të aplikuar këtë metodë me sukses!