曲线 3x^3=y^5+2y^3在 x=1 对应点处的法线斜率是多少

要找到曲线 \(3x^3 = y^5 + 2y^3\) 在 \(x=1\) 处对应点的法线斜率，我们需要以下几个步骤：

1. **找到对应的 \(y\) 值：**
   我们将 \(x=1\) 代入原方程，得到：
   \[
   3(1)^3 = y^5 + 2y^3
   \]
   即：
   \[
   3 = y^5 + 2y^3
   \]
   这个方程需要解出 \(y\) 的值。

2. **求导数 \(dy/dx\)：**
   隐函数求导，方程两边对 \(x\) 求导：
   \[
   \frac{d}{dx}(3x^3) = \frac{d}{dx}(y^5 + 2y^3)
   \]
   即：
   \[
   9x^2 = 5y^4 \frac{dy}{dx} + 6y^2 \frac{dy}{dx}
   \]
   将其整理为：
   \[
   9x^2 = (5y^4 + 6y^2) \frac{dy}{dx}
   \]
   解出 \(\frac{dy}{dx}\)：
   \[
   \frac{dy}{dx} = \frac{9x^2}{5y^4 + 6y^2}
   \]

3. **计算 \(x=1\) 处的导数：**
   将 \(x=1\) 和对应的 \(y\) 值代入 \(\frac{dy}{dx}\) 计算导数值。

4. **计算法线斜率：**
   法线斜率是切线斜率的负倒数，因此法线斜率为 \(-\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\)。

首先，我们解方程 \(3 = y^5 + 2y^3\)。显然，\(y = 1\) 是这个方程的解。检查一下：
\[
1^5 + 2 \cdot 1^3 = 1 + 2 = 3
\]
所以，\(y = 1\) 是正确的。

然后，计算 \(\frac{dy}{dx}\) 在 \(x = 1\)，\(y = 1\) 处的值：
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{9 \cdot 1^2}{5 \cdot 1^4 + 6 \cdot 1^2} = \frac{9}{5 + 6} = \frac{9}{11}
\]

因此，法线斜率为：
\[
-\frac{1}{\frac{9}{11}} = -\frac{11}{9}
\]

所以，曲线 \(3x^3 = y^5 + 2y^3\) 在 \(x=1\) 对应点处的法线斜率是 \(-\frac{11}{9}\)。

是否需要详细步骤说明或者有任何问题？

你可以问以下问题：
1. 如何解高次方程？
2. 隐函数求导的详细步骤是什么？
3. 如何找到曲线在某点的法线方程？
4. 如何求一个点处的切线方程？
5. 法线和切线的关系是什么？

**小贴士**：隐函数求导时要记得对所有变量进行求导，并使用链式法则来处理隐含的 \(y\) 变量。

Learn how to find the normal line slope at x=1 for the curve defined by 3x^3 = y^5 + 2y^3 with a detailed step-by-step solution. This problem covers implicit differentiation, equation solving, derivatives, and the concept of normal line slope. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation