لإيجاد معادلتي المماس والناظم للمنحنى $x^2 y - 3y^2 + 10 = 0$ عند النقطة $(-1, 2)$، نحتاج إلى استخدام قواعد التفاضل:

خطوات الحل:

1. المعادلة الضمنية: $x^2 y - 3y^2 + 10 = 0$

2. إيجاد المشتقة الضمنية $\frac{dy}{dx}$:

   • نشتق كلا طرفي المعادلة بالنسبة لـ $x$ مع اعتبار $y$ دالة لـ $x$ (التفاضل الضمني).

   $\frac{d}{dx}(x^2 y) - \frac{d}{dx}(3y^2) + \frac{d}{dx}(10) = 0$

   • لتفاضل الحد الأول $x^2 y$ نستخدم قاعدة حاصل الضرب: $\frac{d}{dx}(x^2 y) = 2x y + x^2 \frac{dy}{dx}$

   • ولتفاضل الحد الثاني $-3y^2$ نستخدم قاعدة السلسلة: $\frac{d}{dx}(-3y^2) = -6y \frac{dy}{dx}$

   • معادلة التفاضل تصبح: $2xy + x^2 \frac{dy}{dx} - 6y \frac{dy}{dx} = 0$

3. حل المشتقة الضمنية $\frac{dy}{dx}$:

   • نجمع الحدود التي تحتوي على $\frac{dy}{dx}$ في طرف واحد: $x^2 \frac{dy}{dx} - 6y \frac{dy}{dx} = -2xy$

   • نخرج $\frac{dy}{dx}$ كعامل مشترك: $\frac{dy}{dx} (x^2 - 6y) = -2xy$

   • نجد $\frac{dy}{dx}$: $\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy}{x^2 - 6y}$

4. إيجاد الميل عند النقطة $(-1, 2)$:

   • نبدل قيم $x = -1$ و $y = 2$ في المشتقة: $\frac{dy}{dx} = \frac{-2(-1)(2)}{(-1)^2 - 6(2)} = \frac{4}{1 - 12} = \frac{4}{-11}$

   • إذن، الميل للمماس عند النقطة $(-1, 2)$ هو $\frac{4}{-11}$.

5. معادلة المماس:

   • معادلة المماس تأخذ الشكل $y - y_1 = m(x - x_1)$.
   • لدينا النقطة $(-1, 2)$ والميل $\frac{4}{-11}$: $y - 2 = \frac{-4}{11}(x + 1)$
     • نحل المعادلة لتصبح: $y = \frac{-4}{11}x - \frac{4}{11} + 2$ $y = \frac{-4}{11}x + \frac{18}{11}$

6. معادلة الناظم:

   • الميل للناظم هو مقلوب سالب لميل المماس: $m_{\text{الناظم}} = \frac{11}{4}$
   • معادلة الناظم هي: $y - 2 = \frac{11}{4}(x + 1)$
     • نحل المعادلة: $y = \frac{11}{4}x + \frac{11}{4} + 2$ $y = \frac{11}{4}x + \frac{19}{4}$

النتائج:

• معادلة المماس: $y = \frac{-4}{11}x + \frac{18}{11}$
• معادلة الناظم: $y = \frac{11}{4}x + \frac{19}{4}$

هل تود مزيدًا من التفاصيل حول خطوات الحل؟

أسئلة مرتبطة:

1. كيف يمكن استخدام التفاضل الضمني لإيجاد ميل المماس؟
2. ما الفرق بين معادلة المماس ومعادلة الناظم؟
3. كيف يتم حل معادلة خطية باستخدام نقطة وميل؟
4. ماذا يحدث لو تغيرت النقطة على المنحنى، كيف يمكن إيجاد معادلة المماس والناظم في نقطة أخرى؟
5. هل يمكن تبسيط أي من معادلات المماس أو الناظم أكثر؟

نصيحة:

التفاضل الضمني مفيد جدًا لحساب المشتقات في المعادلات التي تكون فيها $y$ ضمنية وليست دالة صريحة لـ $x$.