En una serie aritmética, tenemos la información siguiente:

• $a_{10} = 25$ (el 10° término)
• $S_{10} = 160$ (la suma de los primeros 10 términos)

Parte a) Hallar el primer término ($a_1$) y la diferencia ($d$).

1. Usamos la fórmula del término general de una progresión aritmética:

$a_n = a_1 + (n - 1)d$ Para $n = 10$: $a_{10} = a_1 + 9d$ Sabemos que $a_{10} = 25$, entonces: $25 = a_1 + 9d \quad \text{(Ecuación 1)}$

2. Usamos la fórmula de la suma de los primeros $n$ términos de una progresión aritmética:

$S_n = \frac{n}{2} \left( 2a_1 + (n - 1)d \right)$ Para $n = 10$: $S_{10} = \frac{10}{2} \left( 2a_1 + 9d \right)$ Sabemos que $S_{10} = 160$, entonces: $160 = 5 \left( 2a_1 + 9d \right)$ Dividimos ambos lados por 5: $32 = 2a_1 + 9d \quad \text{(Ecuación 2)}$

3. Resolución del sistema de ecuaciones.

De la Ecuación 1: $a_1 = 25 - 9d$

Sustituimos en la Ecuación 2: $32 = 2(25 - 9d) + 9d$ Expandiendo: $32 = 50 - 18d + 9d$ Simplificamos: $32 = 50 - 9d$ Restamos 50 de ambos lados: $-18 = -9d$ Dividimos por -9: $d = 2$

Sustituyendo $d = 2$ en la Ecuación 1: $a_1 = 25 - 9(2) = 25 - 18 = 7$

Por lo tanto, el primer término es $a_1 = 7$ y la diferencia es $d = 2$.

Parte b) Hallar la suma de los primeros 25 términos ($S_{25}$).

Usamos la fórmula de la suma de los primeros $n$ términos: $S_n = \frac{n}{2} \left( 2a_1 + (n - 1)d \right)$ Para $n = 25$: $S_{25} = \frac{25}{2} \left( 2(7) + 24(2) \right)$ Calculamos: $S_{25} = \frac{25}{2} \left( 14 + 48 \right) = \frac{25}{2} \times 62 = 25 \times 31 = 775$

Por lo tanto, la suma de los primeros 25 términos es $S_{25} = 775$.

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre el proceso?

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2. ¿Cómo se resolvería si el término dado fuera el 15° en lugar del 10°?
3. ¿Qué sucede si la diferencia $d$ es negativa en una serie aritmética?
4. ¿Cómo se puede hallar el término medio de una serie aritmética?
5. ¿Cómo cambia la fórmula de la suma si en lugar de una serie aritmética fuera una serie geométrica?

Tip: Siempre verifica que las fórmulas de suma y término general estén aplicadas correctamente según la cantidad de términos.