Para resolver este problema, utilizaremos las fórmulas de la serie aritmética:

1. Fórmula del término general de una serie aritmética: $a_n = a_1 + (n - 1)d$ donde $a_n$ es el término n-ésimo, $a_1$ es el primer término y $d$ es la diferencia común.

2. Fórmula para la suma de los primeros $n$ términos de una serie aritmética: $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n - 1)d)$ donde $S_n$ es la suma de los primeros $n$ términos.

a) Hallar el primer término ($a_1$) y la diferencia común ($d$):

Información dada:

• $a_{10} = 25$ (el décimo término).
• $S_{10} = 160$ (la suma de los 10 primeros términos).

Usamos la fórmula del término general para el décimo término: $a_{10} = a_1 + (10 - 1)d = a_1 + 9d$ Sabemos que $a_{10} = 25$, entonces: $a_1 + 9d = 25 \quad (1)$

Ahora, aplicamos la fórmula de la suma para los primeros 10 términos: $S_{10} = \frac{10}{2}(2a_1 + (10 - 1)d) = 5(2a_1 + 9d)$ Sabemos que $S_{10} = 160$, entonces: $5(2a_1 + 9d) = 160$ Dividimos entre 5: $2a_1 + 9d = 32 \quad (2)$

Ahora tenemos el sistema de ecuaciones:

1. $a_1 + 9d = 25$
2. $2a_1 + 9d = 32$

Restamos la ecuación (1) de la ecuación (2): $(2a_1 + 9d) - (a_1 + 9d) = 32 - 25$ $a_1 = 7$

Sustituyendo $a_1 = 7$ en la ecuación (1): $7 + 9d = 25$ $9d = 18 \quad \Rightarrow \quad d = 2$

Respuesta para el inciso a):

• El primer término es $a_1 = 7$.
• La diferencia común es $d = 2$.

b) Hallar la suma de los 24 primeros términos:

Usamos nuevamente la fórmula de la suma de los primeros $n$ términos: $S_{24} = \frac{24}{2}(2a_1 + (24 - 1)d) = 12(2a_1 + 23d)$ Sustituyendo $a_1 = 7$ y $d = 2$: $S_{24} = 12(2(7) + 23(2)) = 12(14 + 46) = 12 \times 60 = 720$

Respuesta para el inciso b):

La suma de los 24 primeros términos es $S_{24} = 720$.

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¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta adicional?

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica la fórmula de la suma de términos en otras series?
2. ¿Qué sucede si la diferencia común $d$ es negativa?
3. ¿Cómo afecta el cambio en $n$ a la fórmula de la suma de una serie aritmética?
4. ¿Qué otras propiedades importantes tienen las series aritméticas?
5. ¿Cómo se resuelven series aritméticas cuando se da una fórmula diferente para el término general?

Tip:

Cuando tengas una ecuación con dos incógnitas, un método eficaz es usar sistemas de ecuaciones para despejar una incógnita y resolver la otra.