Meillä on kappaleen nopeus ajan funktiona annettuna kaavalla:

$v(t) = 35.7 \, \text{m/s} \cdot e^{-\alpha t}$

ja tiedämme, että hetkellä $t = 12.5$ s kappaleen nopeus on 19.5 m/s. Voimme käyttää tätä tietoa löytääksemme kertoimen $\alpha$.

Ensinnäkin, sijoitetaan tunnetut arvot kaavaan:

$v(12.5) = 35.7 \, \text{m/s} \cdot e^{-\alpha \cdot 12.5} = 19.5 \, \text{m/s}$

Ratkaistaan $\alpha$ seuraavalla tavalla:

1. Jaa yhtälön molemmat puolet 35.7 m/s:llä:

   $e^{-\alpha \cdot 12.5} = \frac{19.5}{35.7}$

2. Laske oikea puoli:

   $e^{-\alpha \cdot 12.5} \approx 0.5462185$

3. Ota luonnollinen logaritmi molemmilta puolilta:

   $-\alpha \cdot 12.5 = \ln(0.5462185)$

4. Ratkaistaan $\alpha$:

   $\alpha = -\frac{\ln(0.5462185)}{12.5}$

Lasketaan tämä arvo.Kertoimen $\alpha$ arvo viidellä merkitsevällä numerolla on:

$\alpha = 0.048379$

Haluatko lisätietoja tai onko sinulla muita kysymyksiä?

Lisäkysymyksiä:

1. Miten lasketaan kappaleen nopeus eri ajanhetkillä, jos $\alpha$ on tunnettu?
2. Kuinka pitkän ajan kuluttua kappaleen nopeus laskee puoleen alkuperäisestä nopeudestaan?
3. Miten ilmanvastus vaikuttaa kappaleen liikkeeseen ja kuinka se sisällytetään $\alpha$-arvoon?
4. Mitä fysiologisia ilmiöitä voidaan kuvata eksponentiaalisella hidastumisella?
5. Miten $\alpha$-arvon muutos vaikuttaa kappaleen nopeuden pienenemiseen?
6. Voidaanko mallia soveltaa muihin kuin nopeuksiin, kuten esimerkiksi lämpötiloihin tai sähkövarauksiin?
7. Miten eksponentiaalista vähenemistä voidaan estimoida tai ennustaa käytännössä?
8. Miten eri materiaalit ja muodot vaikuttavat ilmanvastuskerroin $\alpha$:n arvoon?

Vinkki: Kun työskentelet eksponentiaalisten funktioiden kanssa, logaritmit ovat hyödyllisiä työkaluja, erityisesti ratkaisun saamiseksi eksponenttiyhtälöistä.