¡Claro que sí! Vamos a resolver el problema paso a paso. El problema pide encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos dados.

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Pasos para resolver:

La ecuación general de la circunferencia es: $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ Donde $D$, $E$ y $F$ son constantes que debemos determinar.

Para resolver este problema:

1. Sustituimos las coordenadas de los tres puntos en la ecuación general.
2. Esto generará un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas ($D$, $E$ y $F$).
3. Resolvemos el sistema para encontrar los valores de $D$, $E$ y $F$.

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Los puntos de las opciones son:

• $A = (-1, -2)$,
• $B = (7, 0)$,
• $C = (5, 4)$.

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Sustitución de cada punto en la ecuación:

1. Para el punto $A(-1, -2)$: $(-1)^2 + (-2)^2 + D(-1) + E(-2) + F = 0$ $1 + 4 - D - 2E + F = 0 \quad \Rightarrow \quad -D - 2E + F = -5 \quad \text{(Ecuación 1)}.$

2. Para el punto $B(7, 0)$: $(7)^2 + (0)^2 + D(7) + E(0) + F = 0$ $49 + 7D + F = 0 \quad \Rightarrow \quad 7D + F = -49 \quad \text{(Ecuación 2)}.$

3. Para el punto $C(5, 4)$: $(5)^2 + (4)^2 + D(5) + E(4) + F = 0$ $25 + 16 + 5D + 4E + F = 0 \quad \Rightarrow \quad 5D + 4E + F = -41 \quad \text{(Ecuación 3)}.$

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Sistema de ecuaciones:

$\text{Ecuación 1: } -D - 2E + F = -5$ $\text{Ecuación 2: } 7D + F = -49$ $\text{Ecuación 3: } 5D + 4E + F = -41$

Resolvamos este sistema de ecuaciones.

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1. Eliminamos $F$ entre las ecuaciones. Restando Ecuación 2 de Ecuación 3: $(5D + 4E + F) - (7D + F) = -41 - (-49)$ $-2D + 4E = 8 \quad \Rightarrow \quad -D + 2E = 4 \quad \text{(Ecuación 4)}.$

2. Usamos Ecuación 1 y Ecuación 4 para encontrar $D$ y $E$.

De la Ecuación 1: $F = -5 + D + 2E \quad \text{(Ecuación 5)}.$

Sustituimos $F$ en la Ecuación 2: $7D + (-5 + D + 2E) = -49$ $8D + 2E = -44 \quad \Rightarrow \quad 4D + E = -22 \quad \text{(Ecuación 6)}.$

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Resolvemos Ecuación 4 y Ecuación 6: $-D + 2E = 4 \quad \text{(Ecuación 4)}.$ $4D + E = -22 \quad \text{(Ecuación 6)}.$

De la Ecuación 4: $D = 2E - 4 \quad \text{(Sustitución)}.$

Sustituimos $D$ en Ecuación 6: $4(2E - 4) + E = -22$ $8E - 16 + E = -22$ $9E = -6 \quad \Rightarrow \quad E = -\frac{2}{3}.$

Sustituimos $E = -\frac{2}{3}$ en $D = 2E - 4$: $D = 2\left(-\frac{2}{3}\right) - 4$ $D = -\frac{4}{3} - 4 = -\frac{16}{3}.$

Sustituimos $D$ y $E$ en la Ecuación 5 para hallar $F$: $F = -5 + D + 2E$ $F = -5 - \frac{16}{3} + 2\left(-\frac{2}{3}\right)$ $F = -5 - \frac{16}{3} - \frac{4}{3}$ $F = -5 - \frac{20}{3} = -\frac{15}{3} - \frac{20}{3} = -\frac{35}{3}.$

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Resultado final:

La ecuación de la circunferencia es: $x^2 + y^2 - \frac{16}{3}x - \frac{2}{3}y - \frac{35}{3} = 0.$

Si necesitas más detalles o ajustes, ¡avísame! 😊

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Preguntas adicionales relacionadas:

1. ¿Cómo se encuentra la ecuación de una circunferencia con solo su radio y su centro?
2. ¿Qué método alternativo podríamos usar si conocemos la forma canónica de la circunferencia?
3. ¿Cómo afecta cambiar uno de los puntos al sistema de ecuaciones?
4. ¿Cómo interpretar $D$, $E$ y $F$ geométricamente?
5. ¿Qué pasa si los puntos son colineales? ¿Existe una circunferencia válida?

Tip: Verifica siempre que los puntos realmente formen un triángulo para garantizar que una circunferencia pase por ellos.