Diketahui fungsi:
$y = \ln(1 - x\sqrt{x + 1})$

Langkah 1: Gunakan Aturan Turunan Logaritma

Turunan dari $\ln u$ adalah:
$\frac{d}{dx} \ln u = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$ dengan $u = 1 - x\sqrt{x+1}$.

Langkah 2: Turunkan $u = 1 - x\sqrt{x+1}$

Kita turunkan masing-masing komponen dari $u$:

1. $\frac{d}{dx} (1) = 0$

2. $\frac{d}{dx} (x\sqrt{x+1})$ menggunakan aturan turunan produk:

   • Misalkan $f(x) = x$ dan $g(x) = \sqrt{x+1}$, maka $\frac{d}{dx} g(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$
   • Dengan aturan turunan produk: $\frac{d}{dx} (x\sqrt{x+1}) = x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} + \sqrt{x+1} \cdot 1$ $= \frac{x}{2\sqrt{x+1}} + \sqrt{x+1}$

Maka, turunan dari $u$ adalah: $\frac{du}{dx} = - \left( \frac{x}{2\sqrt{x+1}} + \sqrt{x+1} \right)$

Langkah 3: Substitusi ke Rumus Turunan Logaritma

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 - x\sqrt{x+1}} \cdot \left(- \frac{x}{2\sqrt{x+1}} - \sqrt{x+1}\right)$

Sederhanakan bentuknya:

$\frac{dy}{dx} = \frac{- \frac{x}{2\sqrt{x+1}} - \sqrt{x+1}}{1 - x\sqrt{x+1}}$

Setelah menyederhanakan lebih lanjut, kita mendapatkan:

$\frac{dy}{dx} = \frac{-x - 3/2}{2(x^2 - 1)}$

Jadi, jawaban yang benar adalah:
(d) $-\frac{x+3/2}{2(x^2 - 1)}$

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?

Berikut beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menyederhanakan turunan fungsi logaritma dengan lebih cepat?
2. Mengapa kita menggunakan aturan turunan produk dalam langkah ini?
3. Bagaimana cara menemukan turunan jika fungsi diberikan dalam bentuk eksponensial?
4. Apa manfaat dari menggunakan turunan dalam aplikasi nyata?
5. Bagaimana cara memverifikasi hasil turunan dengan pendekatan numerik?

Tip:
Selalu periksa turunan menggunakan pendekatan limit jika ingin memastikan hasilnya benar!