Una ciudad esta dividida en un sistema de coordenadas medido en kilometros. En esra ciudad hay tres colegios situados en las siguintes coordenadas. A(1,3) B(6,4) y C (6,1). Determine en que punto debera situarse un cuarto colegio para que este lo mas alejado posible de los otros tres, y calucle dicha distancia

Para resolver este problema, necesitamos encontrar el punto \( D(x, y) \) donde se debe ubicar un cuarto colegio de modo que esté lo más alejado posible de los otros tres colegios A(1,3), B(6,4) y C(6,1). Además, calcularemos la distancia máxima entre este punto \( D \) y los colegios A, B y C.

### Estrategia:
1. Calcularemos el circuncentro del triángulo formado por los tres puntos \( A(1,3) \), \( B(6,4) \) y \( C(6,1) \).
   - El circuncentro es el punto que equidista de los tres vértices del triángulo y es el centro del círculo circunscrito al triángulo.
   - Este es el punto más alejado que podemos encontrar para que el colegio esté equidistante de los otros tres colegios.
   
2. Usaremos las fórmulas de geometría analítica para encontrar este punto, calculando primero las mediatrices de los lados del triángulo y luego encontrando su intersección.

### Paso 1: Encontrar el circuncentro
Las mediatrices son las líneas perpendiculares a los lados del triángulo que pasan por sus puntos medios.

#### 1.1 Mediatriz del lado \( AB \):
- El punto medio de \( AB \) es:
  \[
  M_{AB} = \left( \frac{1+6}{2}, \frac{3+4}{2} \right) = (3.5, 3.5)
  \]
  
- La pendiente de \( AB \) es:
  \[
  m_{AB} = \frac{4 - 3}{6 - 1} = \frac{1}{5}
  \]
  
- La pendiente de la mediatriz es la inversa negativa:
  \[
  m_{\text{mediatriz}} = -5
  \]
  
- La ecuación de la mediatriz es:
  \[
  y - 3.5 = -5(x - 3.5)
  \]

#### 1.2 Mediatriz del lado \( BC \):
- El punto medio de \( BC \) es:
  \[
  M_{BC} = \left( \frac{6+6}{2}, \frac{4+1}{2} \right) = (6, 2.5)
  \]

- La pendiente de \( BC \) es:
  \[
  m_{BC} = \frac{4 - 1}{6 - 6} = \infty
  \]
  
- La mediatriz es una línea horizontal que pasa por \( x = 6 \), así que su ecuación es simplemente:
  \[
  x = 6
  \]

#### 1.3 Intersección de las mediatrices:
Para encontrar el circuncentro, necesitamos resolver las ecuaciones de las mediatrices:
- De la primera mediatriz:
  \[
  y - 3.5 = -5(x - 3.5)
  \]
  Simplificando:
  \[
  y = -5x + 21
  \]
  
- Usamos la ecuación \( x = 6 \) en esta ecuación:
  \[
  y = -5(6) + 21 = -30 + 21 = -9
  \]

Entonces, el circuncentro está en el punto \( (6, -9) \).

### Paso 2: Calcular la distancia máxima
La distancia entre el circuncentro \( D(6, -9) \) y cualquiera de los puntos \( A(1,3) \), \( B(6,4) \) o \( C(6,1) \) será la misma, ya que el circuncentro equidista de los vértices.

Calculamos la distancia entre \( D(6, -9) \) y \( A(1,3) \) usando la fórmula de distancia entre dos puntos:
\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
\[
d = \sqrt{(6 - 1)^2 + (-9 - 3)^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]

### Conclusión:
El punto donde debe situarse el cuarto colegio es \( D(6, -9) \), y la distancia máxima entre este colegio y los otros tres es de **13 km**.

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¿Te gustaría más detalles sobre este proceso o tienes alguna duda? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calculan las mediatrices de otros triángulos?
2. ¿Qué otras aplicaciones tiene el circuncentro en geometría?
3. ¿Qué sucede si el triángulo es equilátero en este tipo de problemas?
4. ¿Cómo se puede generalizar este método para triángulos en tres dimensiones?
5. ¿Qué otros métodos existen para encontrar puntos equidistantes?

**Tip**: El circuncentro siempre está dentro del triángulo si el triángulo es acutángulo, pero estará fuera si es obtusángulo.

Una ciudad está dividida en un sistema de coordenadas medido en kilómetros. En esta ciudad hay tres colegios situados en las siguientes coordenadas: A(1,3), B(6,4) y C(6,1). Determine en qué punto deberá situarse un cuarto colegio para que esté lo más alejado posible de los otros tres, y calcule dicha distancia.

Learn how to determine the optimal location for a fourth school in a city with three schools at specific coordinates, using the circumcenter of a triangle. This geometry problem covers key concepts like the circumcenter, perpendicular bisectors, and distance calculation. Suitable for high school students (Grades 9-12).

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