Давайте разберём задачу шаг за шагом.

Дано:

1. В треугольнике $\triangle ABC$:

   • Угол $\angle A = 60^\circ$,
   • Угол $\angle B = 77^\circ$.

2. На продолжении стороны $AC$ за точку $A$ выбрана точка $D$, такая что: $AB + AD = AC.$

3. Требуется найти угол $\angle DBC$.

---

Шаг 1. Найдём угол $\angle C$ в треугольнике $\triangle ABC$:

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 60^\circ - 77^\circ = 43^\circ.$

---

Шаг 2. Разберём условие с точкой $D$:

Так как $D$ лежит на продолжении стороны $AC$ за точку $A$, то $AD$ и $AC$ направлены в противоположные стороны. Это означает: $AD = AC - AB.$

---

Шаг 3. Рассмотрим треугольник $\triangle DBC$:

1. Угол $\angle DBC$ — внешний угол треугольника $\triangle ABC$ при вершине $C$, так как $D$ лежит за пределами $AC$.
2. Внешний угол равен сумме двух несмежных внутренних углов треугольника: $\angle DBC = \angle A + \angle B = 60^\circ + 77^\circ = 137^\circ.$

---

Ответ:

$\boxed{\angle DBC = 137^\circ.}$

---

Могу ли я объяснить более подробно или рассмотреть дополнительные аспекты?

Вопросы для закрепления:

1. Как связаны внешний угол треугольника и его внутренние углы?
2. Почему точка $D$ оказывается за пределами $AC$?
3. Как можно проверить условие $AB + AD = AC$ при конкретных длинах сторон?
4. Что произойдет, если угол $A$ изменить на другой?
5. Как найти длины сторон треугольника, если известны два угла и одно из условий сторон?

Совет: Помните, что сумма углов треугольника всегда равна $180^\circ$, это ключ к решению многих задач на углы.