Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn hai điều kiện sau:

a) $f(x) \geq c$ với mọi $x > 0$, trong đó $c < 0$.
b) $f(x + y) = f(x) + f(y)$ với mọi $x, y \in \mathbb{R}$.

Bước 1: Phân tích phương trình hàm Cauchy

Phương trình $f(x + y) = f(x) + f(y)$ là dạng phương trình hàm Cauchy cổ điển. Các nghiệm của phương trình này bao gồm các hàm bậc nhất tuyến tính dạng $f(x) = kx$, trong đó $k$ là một hằng số.

Bước 2: Xét điều kiện (a)

Do điều kiện (a) yêu cầu $f(x) \geq c$ với mọi $x > 0$ và $c < 0$, ta thay $f(x) = kx$ vào:

$f(x) = kx \geq c \quad \forall x > 0$

Chia cả hai vế cho $x > 0$, ta được:

$k \geq \frac{c}{x}$

Khi $x \to 0^+$, $\frac{c}{x} \to -\infty$ (vì $c < 0$), do đó $k$ phải không âm, tức là $k \geq 0$.

Bước 3: Xét trường hợp $k = 0$

Nếu $k = 0$, thì $f(x) = 0$ với mọi $x$. Tuy nhiên, điều này không thỏa mãn điều kiện (a) vì $0$ không lớn hơn hoặc bằng $c < 0$.

Bước 4: Xét trường hợp $k > 0$

Nếu $k > 0$, điều kiện (a) sẽ trở thành:

$kx \geq c \quad \forall x > 0$

Với $k > 0$, chọn $x = \frac{c}{k}$. Nếu $k > 0$, điều này luôn thỏa mãn điều kiện trên. Do đó, điều kiện (a) luôn đúng khi $k > 0$.

Kết luận

Tất cả các hàm số thỏa mãn các điều kiện đã cho là các hàm tuyến tính có dạng:

$f(x) = kx, \quad \text{với } k > 0.$

Bạn có muốn xem chi tiết hơn hay có câu hỏi nào không?

5 Câu hỏi liên quan:

1. Làm thế nào để giải phương trình hàm Cauchy trong trường hợp miền xác định khác $\mathbb{R}$?
2. Nếu điều kiện (a) thay đổi, nghiệm của phương trình có thay đổi không?
3. Có bao nhiêu loại phương trình hàm tương tự phương trình Cauchy?
4. Làm thế nào để chứng minh tính duy nhất của nghiệm cho phương trình hàm tuyến tính?
5. Có ví dụ nào khác về phương trình hàm với điều kiện bất đẳng thức?

Mẹo: Khi giải phương trình hàm, luôn kiểm tra các hàm tuyến tính đơn giản trước vì chúng thường là nghiệm tiềm năng của nhiều phương trình hàm quen thuộc.