Chúng ta cần tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:

$f(x + y) = f(x) + f(y) \quad \forall x, y \in \mathbb{Q}.$

Đây là phương trình hàm nổi tiếng, còn được gọi là phương trình Cauchy. Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính giá trị của $f(0)$:

Chọn $x = 0$ và $y = 0$ trong phương trình đã cho:

$f(0 + 0) = f(0) + f(0) \Rightarrow f(0) = 2f(0).$

Từ đó suy ra $f(0) = 0$.

2. Kiểm tra tính đồng nhất của hàm số:

Giả sử $y = 1$, ta có:

$f(x + 1) = f(x) + f(1).$

Đặt $f(1) = c$, khi đó:

$f(x + 1) = f(x) + c.$

3. Tính giá trị của $f(x)$ với $x$ nguyên:

Dùng quy nạp, với $x = n$ là số nguyên dương, ta có:

$f(n) = nc.$

Tương tự, với $x = -n$ là số nguyên âm:

$f(-n) = -nc.$

Vì thế, hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(x) = cx$ cho mọi $x \in \mathbb{Z}$ (tập số nguyên).

4. Tổng quát hoá cho các số hữu tỉ:

Do tính chất của hàm số tuyến tính và vì $\mathbb{Q}$ là trường, ta có thể tổng quát hóa cho mọi số hữu tỉ:

$f\left(\frac{m}{n}\right) = \frac{m}{n} f(1) = \frac{mc}{n} = c \cdot \frac{m}{n}.$

Vậy ta có:

$f(x) = cx \quad \text{với mọi } x \in \mathbb{Q}.$

Kết luận:

Tất cả các hàm số $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn phương trình hàm đã cho đều có dạng:

$f(x) = cx, \quad \text{với } c \in \mathbb{R}.$

Bạn có muốn chi tiết thêm về quá trình chứng minh này không?
Dưới đây là 5 câu hỏi liên quan đến phương trình hàm này:

1. Phương trình hàm Cauchy có dạng tổng quát nào khác ngoài hàm số tuyến tính?
2. Điều kiện nào trên tập xác định của hàm số $f$ đảm bảo tính tuyến tính của $f$?
3. Nếu hàm $f$ được xác định trên tập số thực $\mathbb{R}$, phương trình Cauchy có những nghiệm nào?
4. Có cách nào khác để chứng minh tính tuyến tính của hàm số $f(x) = cx$ không?
5. Nếu thay $\mathbb{Q}$ bằng tập số nguyên $\mathbb{Z}$, phương trình hàm có thay đổi không?

Mẹo: Đối với các bài toán phương trình hàm, bạn nên thử đặt các giá trị đặc biệt như 0, 1 hoặc các số nguyên để tìm ra dạng tổng quát của hàm số.