 Tìm tất cả các hàm số f : Q → R thoả mãn
 f(x +y) = f(x)+f(y) ∀x,y ∈ Q.

Chúng ta cần tìm tất cả các hàm \( f: \mathbb{Q} \to \mathbb{R} \) thỏa mãn điều kiện:

\[
f(x + y) = f(x) + f(y) \quad \forall x, y \in \mathbb{Q}.
\]

Đây là phương trình hàm nổi tiếng, còn được gọi là **phương trình Cauchy**. Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

### 1. Tính giá trị của \( f(0) \):
Chọn \( x = 0 \) và \( y = 0 \) trong phương trình đã cho:

\[
f(0 + 0) = f(0) + f(0) \Rightarrow f(0) = 2f(0).
\]

Từ đó suy ra \( f(0) = 0 \).

### 2. Kiểm tra tính đồng nhất của hàm số:
Giả sử \( y = 1 \), ta có:

\[
f(x + 1) = f(x) + f(1).
\]

Đặt \( f(1) = c \), khi đó:

\[
f(x + 1) = f(x) + c.
\]

### 3. Tính giá trị của \( f(x) \) với \( x \) nguyên:
Dùng quy nạp, với \( x = n \) là số nguyên dương, ta có:

\[
f(n) = nc.
\]

Tương tự, với \( x = -n \) là số nguyên âm:

\[
f(-n) = -nc.
\]

Vì thế, hàm số \( f(x) \) thỏa mãn \( f(x) = cx \) cho mọi \( x \in \mathbb{Z} \) (tập số nguyên).

### 4. Tổng quát hoá cho các số hữu tỉ:
Do tính chất của hàm số tuyến tính và vì \( \mathbb{Q} \) là trường, ta có thể tổng quát hóa cho mọi số hữu tỉ:

\[
f\left(\frac{m}{n}\right) = \frac{m}{n} f(1) = \frac{mc}{n} = c \cdot \frac{m}{n}.
\]

Vậy ta có:

\[
f(x) = cx \quad \text{với mọi } x \in \mathbb{Q}.
\]

### Kết luận:
Tất cả các hàm số \( f: \mathbb{Q} \to \mathbb{R} \) thỏa mãn phương trình hàm đã cho đều có dạng:

\[
f(x) = cx, \quad \text{với } c \in \mathbb{R}.
\]

Bạn có muốn chi tiết thêm về quá trình chứng minh này không?  
Dưới đây là 5 câu hỏi liên quan đến phương trình hàm này:

1. Phương trình hàm Cauchy có dạng tổng quát nào khác ngoài hàm số tuyến tính?
2. Điều kiện nào trên tập xác định của hàm số \( f \) đảm bảo tính tuyến tính của \( f \)?
3. Nếu hàm \( f \) được xác định trên tập số thực \( \mathbb{R} \), phương trình Cauchy có những nghiệm nào?
4. Có cách nào khác để chứng minh tính tuyến tính của hàm số \( f(x) = cx \) không?
5. Nếu thay \( \mathbb{Q} \) bằng tập số nguyên \( \mathbb{Z} \), phương trình hàm có thay đổi không?

**Mẹo:** Đối với các bài toán phương trình hàm, bạn nên thử đặt các giá trị đặc biệt như 0, 1 hoặc các số nguyên để tìm ra dạng tổng quát của hàm số.

Explore the solution to the Cauchy functional equation f(x + y) = f(x) + f(y) for functions f defined on the rational numbers (Q). Understand the theorem and its implications, suitable for advanced high school students and above.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation