Para resolver o problema, devemos encontrar os valores de $\alpha$ e $\beta$ que garantem que o estimador $T(X_1, X_2) = \alpha X_1 + \beta X_2$ seja não tendencioso e tenha variância igual a 13.

1. Condição de não tendenciosidade

Para que o estimador $T(X_1, X_2)$ seja não tendencioso, sua esperança deve ser igual ao parâmetro $\theta$, ou seja:

$E[T(X_1, X_2)] = \theta$

Como $X_1$ e $X_2$ são variáveis aleatórias com média $\theta$, temos:

[ E[T(X_1, X_2)] = E[\alpha X_1 + \beta X_2] = \alpha E[X_1] + \beta E[X_2] = \alpha \theta + \beta \theta = (\alpha + \beta)\theta ]

Para que o estimador seja não tendencioso, precisamos que:

$(\alpha + \beta)\theta = \theta$

Dividindo ambos os lados por $\theta$ (supondo $\theta \neq 0$):

$\alpha + \beta = 1$

2. Condição de variância

A variância do estimador $T(X_1, X_2)$ é dada por:

$\text{Var}(T(X_1, X_2)) = \text{Var}(\alpha X_1 + \beta X_2)$

Como $X_1$ e $X_2$ são independentes, temos:

$\text{Var}(T(X_1, X_2)) = \alpha^2 \text{Var}(X_1) + \beta^2 \text{Var}(X_2)$

Sabendo que a variância de $X_1$ e $X_2$ é 25, temos:

$\text{Var}(T(X_1, X_2)) = 25\alpha^2 + 25\beta^2$

A condição dada no problema é que a variância seja 13:

$25\alpha^2 + 25\beta^2 = 13$

Simplificando:

$\alpha^2 + \beta^2 = \frac{13}{25}$

3. Resolvendo o sistema

Agora temos o seguinte sistema de equações:

$\alpha + \beta = 1 \quad \text{(1)}$ $\alpha^2 + \beta^2 = \frac{13}{25} \quad \text{(2)}$

Podemos resolver esse sistema substituindo $\beta = 1 - \alpha$ na equação (2):

$\alpha^2 + (1 - \alpha)^2 = \frac{13}{25}$

Expansão e simplificação:

$\alpha^2 + 1 - 2\alpha + \alpha^2 = \frac{13}{25}$ $2\alpha^2 - 2\alpha + 1 = \frac{13}{25}$

Multiplicando tudo por 25 para eliminar o denominador:

$50\alpha^2 - 50\alpha + 25 = 13$

Simplificando:

$50\alpha^2 - 50\alpha + 12 = 0$

Dividindo por 2:

$25\alpha^2 - 25\alpha + 6 = 0$

Usando a fórmula de Bhaskara:

$\alpha = \frac{-(-25) \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 6}}{2 \cdot 25}$ $\alpha = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 600}}{50}$ $\alpha = \frac{25 \pm \sqrt{25}}{50}$ $\alpha = \frac{25 \pm 5}{50}$

Isso nos dá duas soluções:

$\alpha = \frac{30}{50} = 0,6 \quad \text{ou} \quad \alpha = \frac{20}{50} = 0,4$

Substituindo na equação $\alpha + \beta = 1$:

• Se $\alpha = 0,6$, então $\beta = 0,4$.
• Se $\alpha = 0,4$, então $\beta = 0,6$.

4. Calculando $\alpha \times \beta$

$\alpha \times \beta = 0,6 \times 0,4 = 0,24$ $\alpha \times \beta = 0,4 \times 0,6 = 0,24$

Portanto, o valor de $\alpha \times \beta$ é $0,24$.

Resposta final: $\alpha \times \beta = 0,24$.

Quer saber mais detalhes ou tem alguma pergunta? Aqui estão cinco questões relacionadas:

1. Como seria o cálculo se a variância fosse diferente de 25?
2. O que aconteceria se a amostra fosse maior que 2?
3. Como determinar o viés de um estimador em geral?
4. Qual a diferença entre estimadores viesados e não viesados?
5. Como a independência das amostras influencia a variância do estimador?

Dica: Para criar estimadores eficientes, é importante considerar tanto a não tendenciosidade quanto a variância mínima.