Seja uma população regida por uma distribuição de probabilidade com média θ e variância 25. A fim de se estimar o valor do parâmetro θ, propôs-se o estimador T(X1 , X2 ) = αX1 + βX2 a partir de uma amostra de tamanho 2, de tal forma que o estimador assim definido seja não tendencioso e tenha variância 13, com a α > 0 e β > 0 .
Qual o valor de α x β ?

Para resolver o problema, devemos encontrar os valores de \(\alpha\) e \(\beta\) que garantem que o estimador \(T(X_1, X_2) = \alpha X_1 + \beta X_2\) seja não tendencioso e tenha variância igual a 13.

### 1. Condição de não tendenciosidade
Para que o estimador \(T(X_1, X_2)\) seja não tendencioso, sua esperança deve ser igual ao parâmetro \(\theta\), ou seja:

\[
E[T(X_1, X_2)] = \theta
\]

Como \(X_1\) e \(X_2\) são variáveis aleatórias com média \(\theta\), temos:

\[
E[T(X_1, X_2)] = E[\alpha X_1 + \beta X_2] = \alpha E[X_1] + \beta E[X_2] = \alpha \theta + \beta \theta = (\alpha + \beta)\theta
\]

Para que o estimador seja não tendencioso, precisamos que:

\[
(\alpha + \beta)\theta = \theta
\]

Dividindo ambos os lados por \(\theta\) (supondo \(\theta \neq 0\)):

\[
\alpha + \beta = 1
\]

### 2. Condição de variância
A variância do estimador \(T(X_1, X_2)\) é dada por:

\[
\text{Var}(T(X_1, X_2)) = \text{Var}(\alpha X_1 + \beta X_2)
\]

Como \(X_1\) e \(X_2\) são independentes, temos:

\[
\text{Var}(T(X_1, X_2)) = \alpha^2 \text{Var}(X_1) + \beta^2 \text{Var}(X_2)
\]

Sabendo que a variância de \(X_1\) e \(X_2\) é 25, temos:

\[
\text{Var}(T(X_1, X_2)) = 25\alpha^2 + 25\beta^2
\]

A condição dada no problema é que a variância seja 13:

\[
25\alpha^2 + 25\beta^2 = 13
\]

Simplificando:

\[
\alpha^2 + \beta^2 = \frac{13}{25}
\]

### 3. Resolvendo o sistema
Agora temos o seguinte sistema de equações:

\[
\alpha + \beta = 1 \quad \text{(1)}
\]
\[
\alpha^2 + \beta^2 = \frac{13}{25} \quad \text{(2)}
\]

Podemos resolver esse sistema substituindo \(\beta = 1 - \alpha\) na equação (2):

\[
\alpha^2 + (1 - \alpha)^2 = \frac{13}{25}
\]

Expansão e simplificação:

\[
\alpha^2 + 1 - 2\alpha + \alpha^2 = \frac{13}{25}
\]
\[
2\alpha^2 - 2\alpha + 1 = \frac{13}{25}
\]

Multiplicando tudo por 25 para eliminar o denominador:

\[
50\alpha^2 - 50\alpha + 25 = 13
\]

Simplificando:

\[
50\alpha^2 - 50\alpha + 12 = 0
\]

Dividindo por 2:

\[
25\alpha^2 - 25\alpha + 6 = 0
\]

Usando a fórmula de Bhaskara:

\[
\alpha = \frac{-(-25) \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 6}}{2 \cdot 25}
\]
\[
\alpha = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 600}}{50}
\]
\[
\alpha = \frac{25 \pm \sqrt{25}}{50}
\]
\[
\alpha = \frac{25 \pm 5}{50}
\]

Isso nos dá duas soluções:

\[
\alpha = \frac{30}{50} = 0,6 \quad \text{ou} \quad \alpha = \frac{20}{50} = 0,4
\]

Substituindo na equação \(\alpha + \beta = 1\):

- Se \(\alpha = 0,6\), então \(\beta = 0,4\).
- Se \(\alpha = 0,4\), então \(\beta = 0,6\).

### 4. Calculando \(\alpha \times \beta\)

\[
\alpha \times \beta = 0,6 \times 0,4 = 0,24
\]
\[
\alpha \times \beta = 0,4 \times 0,6 = 0,24
\]

Portanto, o valor de \(\alpha \times \beta\) é \(0,24\).

**Resposta final**: \(\alpha \times \beta = 0,24\).

Quer saber mais detalhes ou tem alguma pergunta? Aqui estão cinco questões relacionadas:

1. Como seria o cálculo se a variância fosse diferente de 25?
2. O que aconteceria se a amostra fosse maior que 2?
3. Como determinar o viés de um estimador em geral?
4. Qual a diferença entre estimadores viesados e não viesados?
5. Como a independência das amostras influencia a variância do estimador?

**Dica:** Para criar estimadores eficientes, é importante considerar tanto a não tendenciosidade quanto a variância mínima.

Explore the derivation of estimator T(X1, X2) = alpha*X1 + beta*X2 for parameter estimation, ensuring unbiasedness and variance constraint. Understand the conditions for non-bias and variance in estimation theory, with practical application examples.

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