Давайте решим задачу шаг за шагом.

Дано:

В эконометрической модели: $y_i = \beta_1 + \beta_2 x_i + \varepsilon_i$ выполнены стандартные предпосылки о случайных ошибках $\varepsilon_i$, и известно, что: $\text{Var}(\varepsilon_1) = \text{Var}(\varepsilon_1 | X) = 2.$ Необходимо найти:

1. $E(y_2 - \beta_2 x_2 | X)$
2. $\text{Var}(y_2 - \beta_2 x_2 | X)$

Решение:

1. Найдем $E(y_2 - \beta_2 x_2 | X)$:

Запишем $y_2 - \beta_2 x_2$: $y_2 - \beta_2 x_2 = \beta_1 + \beta_2 x_2 + \varepsilon_2 - \beta_2 x_2 = \beta_1 + \varepsilon_2.$ Теперь найдем условное математическое ожидание $E(y_2 - \beta_2 x_2 | X)$: $E(y_2 - \beta_2 x_2 | X) = E(\beta_1 + \varepsilon_2 | X).$ Так как $\beta_1$ является константой и $\varepsilon_2$ условно имеет математическое ожидание 0 (выполнены стандартные предпосылки), то: $E(\beta_1 + \varepsilon_2 | X) = \beta_1.$ Таким образом: $E(y_2 - \beta_2 x_2 | X) = \beta_1.$

2. Найдем $\text{Var}(y_2 - \beta_2 x_2 | X)$:

Вновь запишем $y_2 - \beta_2 x_2 = \beta_1 + \varepsilon_2$. Поскольку $\beta_1$ — константа, она не влияет на дисперсию. Следовательно: $\text{Var}(y_2 - \beta_2 x_2 | X) = \text{Var}(\varepsilon_2 | X).$ По условию, $\text{Var}(\varepsilon_1 | X) = 2$, и так как для всех $\varepsilon_i$ дисперсия одинакова, то: $\text{Var}(y_2 - \beta_2 x_2 | X) = 2.$

Ответ:

1. $E(y_2 - \beta_2 x_2 | X) = \beta_1$
2. $\text{Var}(y_2 - \beta_2 x_2 | X) = 2$

Если остались вопросы или нужны дополнительные пояснения — дайте знать!

Вопросы для расширения:

1. Какое значение имеют стандартные предпосылки в эконометрической модели?
2. Почему математическое ожидание ошибки условно равно 0?
3. Каким образом константы влияют на дисперсию в линейных моделях?
4. Как интерпретировать дисперсию случайных ошибок в контексте реальных данных?
5. Как проверить выполнение стандартных предпосылок в реальных данных?

Совет:

При работе с эконометрическими моделями важно проверять выполнение стандартных предпосылок (например, гомоскедастичность и отсутствие автокорреляции), чтобы гарантировать корректность выводов.