Math Problem Statement
Olkoon ∼ relaatio joukolla N × N, missä (m, n) ∼ (p, q), jos m + q = n + p. Osoita, että ∼ on ekvivalenssirelaatio joukolla N × N.
Solution
Ekvivalenssirelaation osoittaminen edellyttää, että relaation ∼ joukolla täytyy täyttää kolme ehtoa: refleksiivisyys, symmetrisyys ja transitiivisuus. Tarkastellaan nämä ehdot yksitellen:
1. Refleksiivisyys
Relatio on refleksiivinen, jos pätee kaikille .
Relaation määritelmän mukaan , jos . Tämä pitää paikkansa, koska luonnollisten lukujen yhteenlasku on kommutatiivista (). Siten refleksiivisyys toteutuu.
2. Symmetrisyys
Relatio on symmetrinen, jos implikoi, että myös .
Relaation määritelmän mukaan , jos . Koska yhtälö on symmetrinen ( on sama kuin ), pätee myös . Näin ollen symmetrisyys on todistettu.
3. Transitiivisuus
Relatio on transitiivinen, jos ja implikoivat, että .
Relaation määritelmän mukaan:
- tarkoittaa, että ,
- tarkoittaa, että .
Meidän täytyy osoittaa, että näistä seuraa , eli .
Yhdistämällä:
- ,
- ,
voimme ratkaista:
- (yhtälöstä ),
- (korvataan toisella yhtälöllä),
- (pelkistämällä ja järjestämällä termejä).
Tämä osoittaa, että , joten transitiivisuus pätee.
Johtopäätös
Koska relaatio ∼ täyttää refleksiivisyyden, symmetrisyyden ja transitiivisuuden ehdot, se on ekvivalenssirelaatio joukolla .
Haluatko lisätietoja tästä todistuksesta?
Kysymyksiä syventymiseen:
- Miksi refleksiivisyyden todistaminen perustuu yhteenlaskun kommutatiivisuuteen?
- Voiko relaatio olla symmetrinen ilman refleksiivisyyttä?
- Mitä erityispiirteitä joukolla on verrattuna muihin relaatioihin?
- Kuinka transitiivisuuden todistaminen eroaisi, jos relaatio ei olisi lineaarinen?
- Voiko tällainen relaatio olla määritelty myös muilla operaatioilla kuin yhteenlaskulla?
Vinkki: Harjoittele ekvivalenssirelaatioita erilaisilla joukoilla ja relaation määritelmillä ymmärtääksesi syvällisemmin niiden ominaisuudet!
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Equivalence Relations
Set Theory
Properties of Relations
Formulas
Reflexivity: (m, n) ∼ (m, n) ⇔ m + n = n + m
Symmetry: (m, n) ∼ (p, q) ⇔ m + q = n + p ⇔ p + n = q + m
Transitivity: If (m, n) ∼ (p, q) and (p, q) ∼ (r, s), then (m, n) ∼ (r, s) ⇔ m + s = n + r
Theorems
Properties of Equivalence Relations
Suitable Grade Level
Undergraduate Mathematics