Math Problem Statement

Olkoon ∼ relaatio joukolla N × N, missä (m, n) ∼ (p, q), jos m + q = n + p. Osoita, että ∼ on ekvivalenssirelaatio joukolla N × N.

Solution

Ekvivalenssirelaation osoittaminen edellyttää, että relaation ∼ joukolla N×NN \times N täytyy täyttää kolme ehtoa: refleksiivisyys, symmetrisyys ja transitiivisuus. Tarkastellaan nämä ehdot yksitellen:

1. Refleksiivisyys

Relatio on refleksiivinen, jos (m,n)(m,n)(m, n) ∼ (m, n) pätee kaikille (m,n)N×N(m, n) \in N \times N.

Relaation määritelmän mukaan (m,n)(m,n)(m, n) ∼ (m, n), jos m+n=n+mm + n = n + m. Tämä pitää paikkansa, koska luonnollisten lukujen yhteenlasku on kommutatiivista (m+n=n+mm + n = n + m). Siten refleksiivisyys toteutuu.


2. Symmetrisyys

Relatio on symmetrinen, jos (m,n)(p,q)(m, n) ∼ (p, q) implikoi, että myös (p,q)(m,n)(p, q) ∼ (m, n).

Relaation määritelmän mukaan (m,n)(p,q)(m, n) ∼ (p, q), jos m+q=n+pm + q = n + p. Koska yhtälö on symmetrinen (m+q=n+pm + q = n + p on sama kuin p+n=q+mp + n = q + m), pätee myös (p,q)(m,n)(p, q) ∼ (m, n). Näin ollen symmetrisyys on todistettu.


3. Transitiivisuus

Relatio on transitiivinen, jos (m,n)(p,q)(m, n) ∼ (p, q) ja (p,q)(r,s)(p, q) ∼ (r, s) implikoivat, että (m,n)(r,s)(m, n) ∼ (r, s).

Relaation määritelmän mukaan:

  • (m,n)(p,q)(m, n) ∼ (p, q) tarkoittaa, että m+q=n+pm + q = n + p,
  • (p,q)(r,s)(p, q) ∼ (r, s) tarkoittaa, että p+s=q+rp + s = q + r.

Meidän täytyy osoittaa, että näistä seuraa (m,n)(r,s)(m, n) ∼ (r, s), eli m+s=n+rm + s = n + r.

Yhdistämällä:

  1. m+q=n+pm + q = n + p,
  2. p+s=q+rp + s = q + r,

voimme ratkaista:

  • q=n+pmq = n + p - m (yhtälöstä m+q=n+pm + q = n + p),
  • p+s=(n+pm)+rp + s = (n + p - m) + r (korvataan qq toisella yhtälöllä),
  • m+s=n+rm + s = n + r (pelkistämällä ja järjestämällä termejä).

Tämä osoittaa, että (m,n)(r,s)(m, n) ∼ (r, s), joten transitiivisuus pätee.


Johtopäätös

Koska relaatio ∼ täyttää refleksiivisyyden, symmetrisyyden ja transitiivisuuden ehdot, se on ekvivalenssirelaatio joukolla N×NN \times N.


Haluatko lisätietoja tästä todistuksesta?

Kysymyksiä syventymiseen:

  1. Miksi refleksiivisyyden todistaminen perustuu yhteenlaskun kommutatiivisuuteen?
  2. Voiko relaatio olla symmetrinen ilman refleksiivisyyttä?
  3. Mitä erityispiirteitä joukolla N×NN \times N on verrattuna muihin relaatioihin?
  4. Kuinka transitiivisuuden todistaminen eroaisi, jos relaatio ei olisi lineaarinen?
  5. Voiko tällainen relaatio olla määritelty myös muilla operaatioilla kuin yhteenlaskulla?

Vinkki: Harjoittele ekvivalenssirelaatioita erilaisilla joukoilla ja relaation määritelmillä ymmärtääksesi syvällisemmin niiden ominaisuudet!

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Equivalence Relations
Set Theory
Properties of Relations

Formulas

Reflexivity: (m, n) ∼ (m, n) ⇔ m + n = n + m
Symmetry: (m, n) ∼ (p, q) ⇔ m + q = n + p ⇔ p + n = q + m
Transitivity: If (m, n) ∼ (p, q) and (p, q) ∼ (r, s), then (m, n) ∼ (r, s) ⇔ m + s = n + r

Theorems

Properties of Equivalence Relations

Suitable Grade Level

Undergraduate Mathematics