Ratkaisu

Annetaan relaatio $\sim$ joukolla $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$, jossa $(m, n) \sim (p, q)$, jos ja vain jos $m + q = n + p$. Tämä relaatio täyttää seuraavat ekvivalenssirelaation ehdot:

1. Refleksiivisyys

Reflleksiivisyys tarkoittaa, että $(m, n) \sim (m, n)$. Tarkastellaan: $m + n = n + m$ Koska tämä on aina totta, relaatio on refleksiivinen.

2. Symmetrisyys

Symmetrisyys tarkoittaa, että jos $(m, n) \sim (p, q)$, niin myös $(p, q) \sim (m, n)$. Oletetaan, että $(m, n) \sim (p, q)$, eli $m + q = n + p.$ Vaihtamalla puolten paikkoja saadaan $p + n = q + m,$ joka osoittaa, että $(p, q) \sim (m, n)$. Näin relaatio on symmetrinen.

3. Transitiivisuus

Transitiivisuus tarkoittaa, että jos $(m, n) \sim (p, q)$ ja $(p, q) \sim (r, s)$, niin $(m, n) \sim (r, s)$. Oletetaan: $m + q = n + p \quad \text{ja} \quad p + s = q + r.$ Lisätään näiden yhtälöiden vasemmat ja oikeat puolet: $(m + q) + (p + s) = (n + p) + (q + r).$ Yksinkertaistamalla saadaan $m + s = n + r,$ joka osoittaa, että $(m, n) \sim (r, s)$. Näin relaatio on transitiivinen.

Koska $\sim$ täyttää refleksiivisyyden, symmetrisyyden ja transitiivisuuden ehdot, se on ekvivalenssirelaatio.

---

Alkion $(m, n)$ ekvivalenssiluokka

Olkoon $(m, n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$. Tällöin kaikki parit $(p, q) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$, jotka kuuluvat samaan ekvivalenssiluokkaan, täyttävät ehdon $m + q = n + p.$ Voimme ratkaista $q$ seuraavasti: $q = n + p - m.$ Siten alkion $(m, n)$ ekvivalenssiluokka on $[(m, n)] = \{(p, q) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid q = n + p - m\}.$

---

Tekijäjoukko $\mathbb{N} \times \mathbb{N} / \sim$

Tekijäjoukko koostuu kaikista ekvivalenssiluokista, jotka relaatio $\sim$ muodostaa. Huomaa, että jokaisen ekvivalenssiluokan voi yksikäsitteisesti määrittää luvulla $k = m - n$. Tällöin $(m, n) \sim (p, q) \quad \text{jos ja vain jos} \quad m - n = p - q.$ Näin tekijäjoukko voidaan ilmaista seuraavasti: $\mathbb{N} \times \mathbb{N} / \sim = \{[(m, n)] \mid m - n = k, \, k \in \mathbb{Z}\}.$

---

Yhteenveto

1. Relaatio $\sim$ on ekvivalenssirelaatio.
2. Alkion $(m, n)$ ekvivalenssiluokka sisältää kaikki parit $(p, q)$, joille $q = n + p - m$.
3. Tekijäjoukko koostuu ekvivalenssiluokista, jotka määräytyvät erotuksella $k = m - n$, missä $k \in \mathbb{Z}$.

---

Haluatko lisätietoa tai lisää esimerkkejä?
Seuraavia kysymyksiä:

1. Miten relaatioita voidaan soveltaa käytännössä?
2. Voisiko tämä relaatio liittyä moduloaritmetiikkaan?
3. Kuinka suuri tekijäjoukko on tietyssä rajoitetussa tapauksessa?
4. Voiko relaatioita yleistää muille joukoille kuin $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$?
5. Miten tekijäjoukkoa voidaan käyttää matemaattisissa todistuksissa?

Vinkki: Tekijäjoukko on hyödyllinen erityisesti symmetrian havaitsemisessa ja ryhmäteoriassa.