Osoitetaan, että relaatio $\sim$, määriteltynä ehdolla $n - m$ on jaollinen luvulla $p$, on ekvivalenssirelaatio joukolla $\mathbb{Z}$. Ekvivalenssirelaatiolle tulee osoittaa kolme ominaisuutta:

1. Refleksiivisyys: Jokainen alkio on suhteessa itseensä.
2. Symmetrisyys: Jos $m \sim n$, niin myös $n \sim m$.
3. Transitiivisuus: Jos $m \sim n$ ja $n \sim k$, niin $m \sim k$.

---

1. Refleksiivisyys

Jotta relaatio $\sim$ on refleksiivinen, sen on täytettävä ehto $m \sim m$ kaikilla $m \in \mathbb{Z}$.

• $m \sim m$, jos $m - m = 0$ on jaollinen $p$.
• Koska $0$ on jaollinen millä tahansa luvulla $p \neq 0$, refleksiivisyys toteutuu.

---

2. Symmetrisyys

Jotta relaatio $\sim$ on symmetrinen, sen on täytettävä ehto: Jos $m \sim n$, niin myös $n \sim m$.

• Oletetaan $m \sim n$. Tämä tarkoittaa, että $n - m$ on jaollinen $p$, eli $n - m = kp$ jollakin $k \in \mathbb{Z}$.
• Tällöin $m - n = -(n - m) = -kp$, mikä on myös jaollinen $p$, koska $-k \in \mathbb{Z}$.
• Siis $n \sim m$, joten symmetrisyys toteutuu.

---

3. Transitiivisuus

Jotta relaatio $\sim$ on transitiivinen, sen on täytettävä ehto: Jos $m \sim n$ ja $n \sim k$, niin myös $m \sim k$.

• Oletetaan, että $m \sim n$ ja $n \sim k$. Tämä tarkoittaa, että $n - m = kp$ ja $k - n = jp$ jollakin $k, j \in \mathbb{Z}$.
• Summataan nämä kaksi: $(n - m) + (k - n) = k - m.$
• Koska $n - m = kp$ ja $k - n = jp$, saadaan $k - m = kp + jp = (k + j)p$, mikä on jaollinen $p$.
• Siis $m \sim k$, joten transitiivisuus toteutuu.

---

Johtopäätös

Koska refleksiivisyys, symmetrisyys ja transitiivisuus on osoitettu, relaatio $\sim$ on ekvivalenssirelaatio joukolla $\mathbb{Z}$.

---

Haluatko lisäselvityksiä tai esimerkkejä tästä relaatioista?

5 Lisäkysymystä laajentamaan ymmärrystä:

1. Mitä tarkoittaa, että relaatio jakaa joukon ekvivalenssiluokkiin?
2. Voitko antaa esimerkin ekvivalenssiluokista, jotka syntyvät tällä relaatiolla?
3. Mitä tapahtuu, jos $p = 1$? Onko relaatio edelleen mielekäs?
4. Kuinka tämä määritelmä liittyy kongruenssiin modulo $p$?
5. Miten tämä relaatio eroaa osajoukkojen relaatioista?

Vinkki: Ekvivalenssirelaatioiden avulla voidaan jäsentää joukkoja luokkiin, joiden avulla voidaan analysoida niiden rakenteellisia ominaisuuksia.