1. Un fabricante de remeras est´a dispuesto a colocar en el mercado 165 (miles) de remeras cuando el
precio es de $ 104 por cada remera y 195 (miles) cuando el precio es de $ 154.
) Se sabe que la ecuaci´on de demanda inversa de remeras es de p = D¯(q) = −
1
2
q + 219, para
0 ≤ q ≤ 438. Hallar la cantidad de remeras que se deben fabricar para que la oferta coincida con
la demanda. ¿Cu´al es el precio de cada remera para dicha cantidad?


Tenemos dos relaciones clave en este problema:

1. **Ecuación de la oferta**: Nos dicen que cuando el precio es $104, se colocan 165 miles de remeras, y cuando el precio es $154, se colocan 195 miles de remeras. Con estos dos puntos, podemos hallar la ecuación de la oferta.

2. **Ecuación de demanda inversa**: $ p = D(q) = -\frac{1}{2}q + 219 $ para $ 0 \leq q \leq 438 $, que describe la relación entre el precio $ p $ y la cantidad demandada $ q $.

### Paso 1: Ecuación de la oferta

Los puntos en la relación precio-cantidad para la oferta son:
- Cuando $ p = 104 $, $ q = 165 $.
- Cuando $ p = 154 $, $ q = 195 $.

La ecuación de la oferta tendrá la forma $ p = S(q) = m q + b $, donde $ m $ es la pendiente y $ b $ es el intercepto.

Primero calculamos la pendiente $ m $ usando la fórmula:

\[
m = \frac{p_2 - p_1}{q_2 - q_1} = \frac{154 - 104}{195 - 165} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}
\]

Entonces la ecuación de la oferta es de la forma $ p = \frac{5}{3}q + b $. Ahora usamos uno de los puntos para encontrar $ b $. Tomemos $ (q = 165, p = 104) $:

\[
104 = \frac{5}{3}(165) + b \implies 104 = 275 + b \implies b = 104 - 275 = -171
\]

Por lo tanto, la ecuación de la oferta es:

\[
p = \frac{5}{3}q - 171
\]

### Paso 2: Igualar oferta y demanda

Para encontrar la cantidad $ q $ en la que la oferta coincide con la demanda, igualamos la ecuación de oferta y la ecuación de demanda inversa:

\[
\frac{5}{3}q - 171 = -\frac{1}{2}q + 219
\]

Multiplicamos todo por 6 para eliminar denominadores:

\[
10q - 1026 = -3q + 1314
\]

Sumamos $ 3q $ en ambos lados:

\[
13q - 1026 = 1314
\]

Sumamos $ 1026 $ en ambos lados:

\[
13q = 2340
\]

Dividimos entre 13:

\[
q = \frac{2340}{13} = 180
\]

Por lo tanto, se deben fabricar 180 miles de remeras.

### Paso 3: Calcular el precio

Para encontrar el precio correspondiente, sustituimos $ q = 180 $ en cualquiera de las ecuaciones de oferta o demanda. Usaremos la ecuación de demanda inversa:

\[
p = -\frac{1}{2}(180) + 219 = -90 + 219 = 129
\]

El precio de cada remera será de $129.

### Respuesta final:
Se deben fabricar 180 miles de remeras, y el precio de cada remera será de $129.

¿Te gustaría ver más detalles de la solución o tienes alguna duda?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo cambiaría la ecuación de oferta si aumentara el precio base de las remeras?
2. ¿Qué sucede si la pendiente de la demanda es más empinada?
3. ¿Cómo influiría en el resultado un aumento en los costos de producción?
4. ¿Podemos predecir cómo fluctuaría el precio si la demanda excede la oferta?
5. ¿Cómo se modelaría un caso con competencia entre fabricantes?

**Tip:** En muchos modelos económicos, la pendiente de la curva de oferta y demanda es crucial para entender cómo cambian las cantidades con las variaciones de precios.

Un fabricante de remeras está dispuesto a colocar en el mercado 165 (miles) de remeras cuando el precio es de $104 por cada remera y 195 (miles) cuando el precio es de $154. Se sabe que la ecuación de demanda inversa de remeras es p = D¯(q) = −1/2q + 219, para 0 ≤ q ≤ 438. Hallar la cantidad de remeras que se deben fabricar para que la oferta coincida con la demanda. ¿Cuál es el precio de cada remera para dicha cantidad?

Discover how to find the equilibrium point where supply equals demand for t-shirts. This step-by-step solution involves calculating the supply equation, using the demand equation, and solving for the equilibrium quantity and price. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation