Dados los puntos A (-3,-2) B (5,2) C (0,3), hallar la ecuación  de la recta que pasa ´por los puntos AB  y la recta paralela que pasa por el punto  C  y despues hallar la ecuacion de la recta que pasa por AB  

Primero resolveremos la ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A(-3, -2) \) y \( B(5, 2) \). Luego, encontraremos la ecuación de una recta paralela a esta que pasa por el punto \( C(0, 3) \), y finalmente confirmaremos nuevamente la ecuación de la recta que pasa por \( AB \).

### 1. Ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A \) y \( B \)
La ecuación de una recta se puede escribir en la forma:

\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]

Donde \( m \) es la pendiente y \( (x_1, y_1) \) es un punto en la recta.

La pendiente \( m \) entre los puntos \( A(-3, -2) \) y \( B(5, 2) \) se calcula con la fórmula:

\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - (-2)}{5 - (-3)} = \frac{2 + 2}{5 + 3} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
\]

Ahora que tenemos la pendiente \( m = \frac{1}{2} \), usamos las coordenadas de \( A(-3, -2) \) para hallar la ecuación de la recta:

\[
y - (-2) = \frac{1}{2}(x - (-3))
\]
\[
y + 2 = \frac{1}{2}(x + 3)
\]
Multiplicamos para simplificar:
\[
y + 2 = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}
\]
Restamos 2 a ambos lados:
\[
y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} - 2
\]
\[
y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}
\]

Por lo tanto, la ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A \) y \( B \) es:

\[
y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}
\]

### 2. Ecuación de la recta paralela que pasa por \( C(0, 3) \)
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente, por lo que la pendiente de la recta paralela será \( m = \frac{1}{2} \).

Usamos la fórmula punto-pendiente con \( C(0, 3) \):

\[
y - 3 = \frac{1}{2}(x - 0)
\]
\[
y - 3 = \frac{1}{2}x
\]
Sumamos 3 a ambos lados:
\[
y = \frac{1}{2}x + 3
\]

Por lo tanto, la ecuación de la recta paralela que pasa por \( C(0, 3) \) es:

\[
y = \frac{1}{2}x + 3
\]

### 3. Confirmación de la ecuación de la recta que pasa por \( AB \)
Ya encontramos que la ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A(-3, -2) \) y \( B(5, 2) \) es:

\[
y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}
\]

### Resumen:

- La ecuación de la recta que pasa por \( AB \) es \( y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \).
- La ecuación de la recta paralela a \( AB \) que pasa por \( C \) es \( y = \frac{1}{2}x + 3 \).

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¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o alguna pregunta adicional?

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**Tip:** Para identificar rectas paralelas, solo necesitas comprobar que tengan la misma pendiente.

Dados los puntos A (-3,-2) B (5,2) C (0,3), hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos AB y la recta paralela que pasa por el punto C y después hallar la ecuación de la recta que pasa por AB.

Learn how to find the equation of the line passing through points A(-3, -2) and B(5, 2), and a parallel line through C(0, 3). This problem covers important concepts in geometry, such as the slope formula, point-slope form, and parallel lines. Suitable for students in Grades 9-11.

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