Primero resolveremos la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(-3, -2)$ y $B(5, 2)$. Luego, encontraremos la ecuación de una recta paralela a esta que pasa por el punto $C(0, 3)$, y finalmente confirmaremos nuevamente la ecuación de la recta que pasa por $AB$.

1. Ecuación de la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$

La ecuación de una recta se puede escribir en la forma:

$y - y_1 = m(x - x_1)$

Donde $m$ es la pendiente y $(x_1, y_1)$ es un punto en la recta.

La pendiente $m$ entre los puntos $A(-3, -2)$ y $B(5, 2)$ se calcula con la fórmula:

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - (-2)}{5 - (-3)} = \frac{2 + 2}{5 + 3} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Ahora que tenemos la pendiente $m = \frac{1}{2}$, usamos las coordenadas de $A(-3, -2)$ para hallar la ecuación de la recta:

$y - (-2) = \frac{1}{2}(x - (-3))$ $y + 2 = \frac{1}{2}(x + 3)$ Multiplicamos para simplificar: $y + 2 = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ Restamos 2 a ambos lados: $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} - 2$ $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

Por lo tanto, la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$ es:

$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

2. Ecuación de la recta paralela que pasa por $C(0, 3)$

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente, por lo que la pendiente de la recta paralela será $m = \frac{1}{2}$.

Usamos la fórmula punto-pendiente con $C(0, 3)$:

$y - 3 = \frac{1}{2}(x - 0)$ $y - 3 = \frac{1}{2}x$ Sumamos 3 a ambos lados: $y = \frac{1}{2}x + 3$

Por lo tanto, la ecuación de la recta paralela que pasa por $C(0, 3)$ es:

$y = \frac{1}{2}x + 3$

3. Confirmación de la ecuación de la recta que pasa por $AB$

Ya encontramos que la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(-3, -2)$ y $B(5, 2)$ es:

$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

Resumen:

• La ecuación de la recta que pasa por $AB$ es $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$.
• La ecuación de la recta paralela a $AB$ que pasa por $C$ es $y = \frac{1}{2}x + 3$.

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¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o alguna pregunta adicional?

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Tip: Para identificar rectas paralelas, solo necesitas comprobar que tengan la misma pendiente.