Para resolver el problema, vamos a proceder paso a paso:

a. Ecuación de la recta que pasa por el punto C y es perpendicular a la recta que pasa por A y B.

1. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B.

Para hallar la ecuación de la recta $AB$, necesitamos primero la pendiente de la recta que se calcula con la fórmula:

$m_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

donde $A(x_1, y_1) = (-2, 3)$ y $B(x_2, y_2) = (4, 1)$.

$m_{AB} = \frac{1 - 3}{4 - (-2)} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

La pendiente de la recta perpendicular, $m_{\perpendicular}$, es el negativo recíproco de la pendiente de $AB$. Por lo tanto:

$m_{\perpendicular} = 3$

2. Ecuación de la recta perpendicular que pasa por $C(-5, -7)$.

Usamos la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente:

$y - y_1 = m(x - x_1)$

Sustituyendo $m = 3$ y $C(-5, -7)$:

$y + 7 = 3(x + 5)$

Expandiendo la ecuación:

$y + 7 = 3x + 15$

Restando 7 a ambos lados:

$y = 3x + 8$

La ecuación de la recta que pasa por $C$ y es perpendicular a la recta $AB$ es:

$y = 3x + 8$

b. Comprobar gráficamente en GeoGebra.

Para comprobar los resultados gráficamente, puedes seguir estos pasos en GeoGebra:

1. Introduce los puntos $A(-2, 3)$, $B(4, 1)$, y $C(-5, -7)$ en GeoGebra.
2. Traza la recta que pasa por $A$ y $B$, utilizando la ecuación obtenida anteriormente o simplemente seleccionando los puntos.
3. Traza la recta perpendicular a $AB$ que pasa por $C$, usando la ecuación $y = 3x + 8$.
4. Verifica visualmente que la recta es perpendicular y pasa por el punto $C$.

¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna duda hasta este punto?

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Preguntas relacionadas:

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4. ¿Cuál es la relación entre las pendientes de dos rectas perpendiculares?
5. ¿Cómo utilizar GeoGebra para graficar una ecuación de una recta?

Tip:

Recuerda que dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1.