Soit fn(x) = x^n/(1+x^(n+2)) En utilisant le théorème de convergence dominée calculer  limn→+∞∫10fn(x)dx ?

Soit \( f_n(x) = \frac{x^n}{1 + x^{n+2}} \), nous devons calculer la limite :

\[
\lim_{n \to +\infty} \int_1^0 f_n(x) \, dx
\]

### 1. Étape 1 : Compréhension de la fonction

Analysons le comportement de la fonction \( f_n(x) \) lorsque \( n \to +\infty \).

- Lorsque \( x \in [0,1) \), pour des valeurs de \( x \) proches de 0, \( x^n \to 0 \) très rapidement car \( x^n \to 0 \) pour \( x < 1 \) et \( n \) grand. Donc, dans ce cas, \( f_n(x) \to 0 \).
  
- Lorsque \( x = 1 \), on a \( f_n(1) = \frac{1^n}{1 + 1^{n+2}} = \frac{1}{2} \), indépendamment de \( n \).

- Lorsque \( x > 1 \), et en particulier pour \( x \in (1, +\infty) \), on a \( x^n \to +\infty \). Donc \( x^{n+2} \to +\infty \) aussi. Par conséquent, \( f_n(x) \to 0 \) car \( \frac{x^n}{1 + x^{n+2}} \to 0 \).

Ainsi, on voit que \( f_n(x) \) tend vers 0 partout sur \( [0,1) \cup (1,+\infty) \), sauf en \( x=1 \) où \( f_n(1) \) tend vers \( \frac{1}{2} \).

### 2. Étape 2 : Application du théorème de convergence dominée

Le **théorème de convergence dominée** nous permet d'échanger la limite et l'intégrale sous certaines conditions. Il suffit de trouver une fonction \( g(x) \) intégrable telle que \( |f_n(x)| \leq g(x) \) pour tout \( n \) et \( x \).

#### Fonction majorante \( g(x) \)

Considérons la fonction \( g(x) = 1 \), qui est une fonction constante. Nous avons :

\[
f_n(x) = \frac{x^n}{1 + x^{n+2}} \leq 1 \quad \text{pour tout} \, x \in [0,1] \, \text{et} \, n \geq 1.
\]

En effet, puisque \( x^n \leq 1 \) pour \( x \in [0,1] \) et \( 1 + x^{n+2} \geq 1 \), il en résulte que \( f_n(x) \leq 1 \).

#### Intégrabilité de la fonction majorante

La fonction \( g(x) = 1 \) est intégrable sur l'intervalle \( [0,1] \), puisque :

\[
\int_0^1 1 \, dx = 1.
\]

### 3. Étape 3 : Calcul de la limite

Maintenant, nous pouvons échanger la limite et l'intégrale :

\[
\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 f_n(x) \, dx = \int_0^1 \lim_{n \to +\infty} f_n(x) \, dx.
\]

On sait que \( \lim_{n \to +\infty} f_n(x) = 0 \) pour tout \( x \in [0,1) \), et \( f_n(1) = \frac{1}{2} \). Donc, la fonction limite est \( 0 \) partout sauf en \( x=1 \).

Cependant, comme l'ensemble où la limite est différente de zéro (en \( x = 1 \)) a une mesure nulle, nous avons finalement :

\[
\int_0^1 \lim_{n \to +\infty} f_n(x) \, dx = 0.
\]

### Conclusion

La limite de l'intégrale est donc :

\[
\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 f_n(x) \, dx = 0.
\]

### Questions connexes :

1. Quelle est la définition complète du théorème de convergence dominée ?
2. Comment s'applique le théorème de convergence dominée dans le cas où la fonction ne tend pas uniformément vers zéro ?
3. Que se passe-t-il si l'intervalle d'intégration est changé, par exemple \( [0,2] \) au lieu de \( [0,1] \) ?
4. Peut-on trouver une autre fonction majorante pour cette intégrale ?
5. Quelles sont les différences entre le théorème de convergence dominée et celui de convergence monotone ?

### Astuce :

Lorsqu'on applique le théorème de convergence dominée, vérifiez toujours que la fonction de domination est intégrable sur l'intervalle donné.

Explore how to use the Dominated Convergence Theorem to calculate the limit of the integral limn→+∞∫10fn(x)dx where fn(x) = x^n/(1+x^(n+2)). This solution involves advanced concepts in analysis, including convergence and integration, and is suitable for university-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation