Soit $f_n(x) = \frac{x^n}{1 + x^{n+2}}$, nous devons calculer la limite :

$\lim_{n \to +\infty} \int_1^0 f_n(x) \, dx$

1. Étape 1 : Compréhension de la fonction

Analysons le comportement de la fonction $f_n(x)$ lorsque $n \to +\infty$.

• Lorsque $x \in [0,1)$, pour des valeurs de $x$ proches de 0, $x^n \to 0$ très rapidement car $x^n \to 0$ pour $x < 1$ et $n$ grand. Donc, dans ce cas, $f_n(x) \to 0$.

• Lorsque $x = 1$, on a $f_n(1) = \frac{1^n}{1 + 1^{n+2}} = \frac{1}{2}$, indépendamment de $n$.

• Lorsque $x > 1$, et en particulier pour $x \in (1, +\infty)$, on a $x^n \to +\infty$. Donc $x^{n+2} \to +\infty$ aussi. Par conséquent, $f_n(x) \to 0$ car $\frac{x^n}{1 + x^{n+2}} \to 0$.

Ainsi, on voit que $f_n(x)$ tend vers 0 partout sur $[0,1) \cup (1,+\infty)$, sauf en $x=1$ où $f_n(1)$ tend vers $\frac{1}{2}$.

2. Étape 2 : Application du théorème de convergence dominée

Le théorème de convergence dominée nous permet d'échanger la limite et l'intégrale sous certaines conditions. Il suffit de trouver une fonction $g(x)$ intégrable telle que $|f_n(x)| \leq g(x)$ pour tout $n$ et $x$.

Fonction majorante $g(x)$

Considérons la fonction $g(x) = 1$, qui est une fonction constante. Nous avons :

$f_n(x) = \frac{x^n}{1 + x^{n+2}} \leq 1 \quad \text{pour tout} \, x \in [0,1] \, \text{et} \, n \geq 1.$

En effet, puisque $x^n \leq 1$ pour $x \in [0,1]$ et $1 + x^{n+2} \geq 1$, il en résulte que $f_n(x) \leq 1$.

Intégrabilité de la fonction majorante

La fonction $g(x) = 1$ est intégrable sur l'intervalle $[0,1]$, puisque :

$\int_0^1 1 \, dx = 1.$

3. Étape 3 : Calcul de la limite

Maintenant, nous pouvons échanger la limite et l'intégrale :

$\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 f_n(x) \, dx = \int_0^1 \lim_{n \to +\infty} f_n(x) \, dx.$

On sait que $\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = 0$ pour tout $x \in [0,1)$, et $f_n(1) = \frac{1}{2}$. Donc, la fonction limite est $0$ partout sauf en $x=1$.

Cependant, comme l'ensemble où la limite est différente de zéro (en $x = 1$) a une mesure nulle, nous avons finalement :

$\int_0^1 \lim_{n \to +\infty} f_n(x) \, dx = 0.$

Conclusion

La limite de l'intégrale est donc :

$\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 f_n(x) \, dx = 0.$

Questions connexes :

1. Quelle est la définition complète du théorème de convergence dominée ?
2. Comment s'applique le théorème de convergence dominée dans le cas où la fonction ne tend pas uniformément vers zéro ?
3. Que se passe-t-il si l'intervalle d'intégration est changé, par exemple $[0,2]$ au lieu de $[0,1]$ ?
4. Peut-on trouver une autre fonction majorante pour cette intégrale ?
5. Quelles sont les différences entre le théorème de convergence dominée et celui de convergence monotone ?

Astuce :

Lorsqu'on applique le théorème de convergence dominée, vérifiez toujours que la fonction de domination est intégrable sur l'intervalle donné.