Jika 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛𝑥 ∞ 𝑛 𝑛=0 , maka ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =

Jika \( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \), maka kita dapat mengintegrasikan fungsi tersebut secara terpisah. 

Dengan asumsi bahwa seri tersebut konvergen, kita dapat menukar urutan penjumlahan dan integrasi:

\[
\int f(x) \, dx = \int \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \right) dx = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \int x^n \, dx
\]

Integrasi \( \int x^n \, dx \) menghasilkan:

\[
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
\]

Sehingga kita mendapatkan:

\[
\int f(x) \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \left( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} + C
\]

Jadi, hasilnya adalah:

\[
\int f(x) \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} + C
\]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? Berikut adalah beberapa pertanyaan yang mungkin relevan:

1. Apa itu konvergensi seri dalam konteks fungsi ini?
2. Bagaimana cara menentukan koefisien \( a_n \) dalam suatu seri?
3. Apa aplikasi dari integral dalam konteks fungsi deret?
4. Bisakah Anda memberikan contoh konkret dari \( f(x) \) dan menghitung integralnya?
5. Apa perbedaan antara konvergensi absolut dan konvergensi bersyarat dalam seri? 

**Tip:** Selalu periksa radius konvergensi untuk memastikan integral yang Anda hitung valid.

Explore the integral of the function f(x) = ∑ a_n x^n, derived by interchanging summation and integration. This detailed solution illustrates key calculus concepts, including integration of power series, suitable for students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation