Math Problem Statement

On considère la fonction     1 f x 2 g : x f x 3      a) Déterminer l’ensemble de définition de g. b) Montrer que g est continue sur 3,4.

Solution

La fonction g(x)g(x) est définie comme :

g(x)=1f(x)f(x)+3g(x) = \frac{1 - f(x)}{f(x) + 3}

a) Déterminer l’ensemble de définition de gg

Pour déterminer l’ensemble de définition de gg, il faut vérifier les conditions sous lesquelles l'expression est bien définie, c'est-à-dire les valeurs de xx pour lesquelles le dénominateur n’est pas nul.

Le dénominateur de g(x)g(x) est f(x)+3f(x) + 3. Il est nécessaire que f(x)+30f(x) + 3 \neq 0, donc :

f(x)3f(x) \neq -3

Ainsi, pour déterminer l’ensemble de définition, il faut exclure les valeurs de xx pour lesquelles f(x)=3f(x) = -3.

Ensemble de définition de gg : L’ensemble des xx pour lesquels f(x)3f(x) \neq -3.

b) Montrer que gg est continue sur [3,4[[3, 4[

Pour montrer que g(x)g(x) est continue sur l’intervalle [3,4[[3, 4[, il faut démontrer que f(x)f(x) est continue sur cet intervalle, et que l’expression g(x)=1f(x)f(x)+3g(x) = \frac{1 - f(x)}{f(x) + 3} ne présente pas de discontinuité dans cet intervalle.

  1. Continuité de f(x)f(x) : Si f(x)f(x) est continue sur [3,4[[3, 4[, cela implique que f(x)f(x) ne prend pas la valeur 3-3 sur cet intervalle (car cela rendrait g(x)g(x) indéfinie).

  2. Pas de discontinuité dans g(x)g(x) : Si f(x)f(x) ne prend pas la valeur 3-3 dans l'intervalle [3,4[[3, 4[, alors g(x)g(x) est également continue sur cet intervalle, car g(x)g(x) est une composition de fonctions continues (addition, soustraction, division avec dénominateur non nul).

Conclusion :

Si f(x)f(x) est continue sur [3,4[[3, 4[ et ne prend pas la valeur 3-3 sur cet intervalle, alors g(x)g(x) est également continue sur cet intervalle.


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Astuce :

Lorsqu’on vérifie la continuité d’une fonction, il est souvent utile de tester si le dénominateur n’est jamais nul sur l’intervalle étudié.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Functions
Rational Functions
Continuity
Domain of a Function

Formulas

g(x) = (1 - f(x)) / (f(x) + 3)

Theorems

Continuity Theorem
Conditions for Rational Function Continuity

Suitable Grade Level

Grades 11-12