Для функции $f(x) = \frac{x-4}{x+3}$ проверим непрерывность в указанных точках $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$, а затем построим график с выделением точек разрыва.

1. Исследование функции на непрерывность

Определение непрерывности: Функция $f(x)$ непрерывна в точке $a$, если:

1. $f(a)$ определено.
2. Существует предел $\lim_{x \to a} f(x)$.
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Точка $x_1 = -3$:

1. Проверим определённость: Подставляем $x = -3$ в $f(x)$: $f(-3) = \frac{-3 - 4}{-3 + 3} = \frac{-7}{0},$ что не определено.

   Вывод: $x_1 = -3$ — точка разрыва. Поскольку знаменатель обнуляется, это разрыв первого рода (полюс).

Точка $x_2 = -2$:

1. Проверим определённость: Подставляем $x = -2$: $f(-2) = \frac{-2 - 4}{-2 + 3} = \frac{-6}{1} = -6.$ Значение $f(-2)$ определено.

2. Проверим существование предела: Вычисляем $\lim_{x \to -2} f(x)$. Функция рациональна и определена в окрестности $x = -2$, следовательно: $\lim_{x \to -2} f(x) = f(-2) = -6.$

3. Сравним предел и значение функции: $\lim_{x \to -2} f(x) = f(-2) = -6$.

   Вывод: Функция непрерывна в точке $x_2 = -2$.

---

2. Построение графика

График функции $f(x) = \frac{x-4}{x+3}$ имеет разрыв в точке $x_1 = -3$, где знаменатель обнуляется. При $x \to -3^+$ и $x \to -3^-$ значения функции стремятся к $\pm \infty$, в зависимости от знака.

Я построю график и выделю точки разрыва. numpy as np import matplotlib.pyplot as plt

Определение функции

def f(x): return (x - 4) / (x + 3)

Генерация данных для графика

x = np.linspace(-10, 5, 1000) y = f(x)

Исключение разрыва в точке x = -3

x_without_pole = x[x != -3] y_without_pole = y[x != -3]

Построение графика

plt.figure(figsize=(10, 6)) plt.plot(x_without_pole, y_without_pole, label=r"$f(x) = \frac{x-4}{x+3}$", color='blue')

Отметка точек разрыва и непрерывности

plt.axvline(x=-3, color='red', linestyle='--', label="Разрыв в $x = -3$") plt.scatter(-2, f(-2), color='green', label="Непрерывна в $x = -2$ (-6)", zorder=5)

Добавление асимптот

plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.7, linestyle='--', label="Асимптота $y=0$") plt.axvline(-3, color='red', linestyle='--')

Подписи

plt.title("График функции $f(x) = \frac{x-4}{x+3}$", fontsize=14) plt.xlabel("$x$", fontsize=12) plt.ylabel("$f(x)$", fontsize=12) plt.ylim(-20, 20) plt.legend() plt.grid() plt.show()На графике видно:

1. Точка разрыва $x = -3$: В этой точке функция не определена, поскольку знаменатель обращается в ноль. Вертикальная красная линия обозначает асимптоту.
2. Точка $x = -2$: Функция непрерывна, и её значение в этой точке равно $f(-2) = -6$, отмечено зелёной точкой.

График также демонстрирует горизонтальную асимптоту при $y = 0$, так как при $x \to \pm\infty$ значение $f(x) \to 0$.

---

Если у вас остались вопросы, уточните!

Вопросы для размышления:

1. Как различать разрывы первого и второго рода?
2. Что происходит с поведением функции на больших значениях $x$?
3. Какие методы применяются для анализа асимптот функций?
4. Как рациональные функции связаны с их асимптотами?
5. Почему важно исключать разрывы при построении графика?

Совет: При анализе функций сначала находите точки, где функция не определена, это упростит исследование её непрерывности.