4m^3 + 8m^2 + 3m + 2m + 1 devided by 2m + 1

Pour diviser le polynôme \( 4m^3 + 8m^2 + 3m + 2m + 1 \) par \( 2m + 1 \), nous allons utiliser la méthode de la division polynomiale.

### Étape 1 : Simplification du polynôme
Tout d'abord, simplifions le polynôme en combinant les termes similaires :

\[
4m^3 + 8m^2 + 3m + 2m + 1 = 4m^3 + 8m^2 + 5m + 1
\]

### Étape 2 : Division polynomiale
Nous devons diviser \( 4m^3 + 8m^2 + 5m + 1 \) par \( 2m + 1 \).

1. **Premier terme** : Divisons le premier terme \( 4m^3 \) par \( 2m \), ce qui donne \( 2m^2 \).
   
   Multiplions \( 2m^2 \) par \( 2m + 1 \) :
   \[
   2m^2 \cdot (2m + 1) = 4m^3 + 2m^2
   \]
   Soustrayons ce résultat du polynôme initial :
   \[
   (4m^3 + 8m^2 + 5m + 1) - (4m^3 + 2m^2) = 6m^2 + 5m + 1
   \]

2. **Deuxième terme** : Divisons \( 6m^2 \) par \( 2m \), ce qui donne \( 3m \).

   Multiplions \( 3m \) par \( 2m + 1 \) :
   \[
   3m \cdot (2m + 1) = 6m^2 + 3m
   \]
   Soustrayons ce résultat du polynôme restant :
   \[
   (6m^2 + 5m + 1) - (6m^2 + 3m) = 2m + 1
   \]

3. **Troisième terme** : Divisons \( 2m \) par \( 2m \), ce qui donne \( 1 \).

   Multiplions \( 1 \) par \( 2m + 1 \) :
   \[
   1 \cdot (2m + 1) = 2m + 1
   \]
   Soustrayons ce résultat du polynôme restant :
   \[
   (2m + 1) - (2m + 1) = 0
   \]

### Conclusion
Il n'y a pas de reste, donc la division est exacte. Le quotient de la division de \( 4m^3 + 8m^2 + 5m + 1 \) par \( 2m + 1 \) est :

\[
2m^2 + 3m + 1
\]

---

Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Voici 8 questions supplémentaires pour approfondir :

1. Comment généraliser cette méthode de division pour des polynômes de degré supérieur ?
2. Peut-on factoriser le polynôme \( 4m^3 + 8m^2 + 5m + 1 \) ?
3. Quelle est l'importance de la division polynomiale dans les mathématiques ?
4. Comment vérifier le résultat d'une division polynomiale ?
5. Comment le reste affecte-t-il l'interprétation du quotient dans une division polynomiale ?
6. Pourquoi les divisions polynomiales sont-elles utiles en algèbre ?
7. Comment la division polynomiale est-elle utilisée dans le calcul des racines de polynômes ?
8. Quels sont les autres outils pour diviser les polynômes, en plus de la méthode de division longue ?

**Astuce** : Lors de la division polynomiale, assurez-vous que tous les termes sont correctement alignés en fonction de leur degré pour éviter les erreurs.

Learn how to divide the polynomial 4m^3 + 8m^2 + 5m + 1 by 2m + 1 using polynomial division method. Follow our detailed step-by-step solution, including simplification and division steps. Suitable for high school students studying algebra and polynomial division.

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