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Vamos a resolver los ejercicios proporcionados en el documento. Los abordaré uno por uno:

### Ejercicio 1
**Problema:**
En un plano se ubican las ciudades A, B y C en las posiciones A(2, 4), B(5, 8) y C(17, 13) respectivamente. Si un auto se desplaza de A a B y luego de B a C, ¿cuántos kilómetros ha recorrido en total?

**Solución:**

Primero, calculamos la distancia entre A y B usando la fórmula de distancia entre dos puntos:

\[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

\[ AB = \sqrt{(5 - 2)^2 + (8 - 4)^2} \]
\[ AB = \sqrt{3^2 + 4^2} \]
\[ AB = \sqrt{9 + 16} \]
\[ AB = \sqrt{25} \]
\[ AB = 5 \]

Ahora, calculamos la distancia entre B y C:

\[ BC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

\[ BC = \sqrt{(17 - 5)^2 + (13 - 8)^2} \]
\[ BC = \sqrt{12^2 + 5^2} \]
\[ BC = \sqrt{144 + 25} \]
\[ BC = \sqrt{169} \]
\[ BC = 13 \]

Por lo tanto, la distancia total recorrida es:

\[ AB + BC = 5 + 13 = 18 \text{ kilómetros} \]

### Ejercicio 2
**Problema:**
Determina el perímetro y área de un terreno de forma triangular con vértices en los puntos (7, 7), (-1, 1) y (2, -3).

**Solución:**

Primero, calculamos las distancias entre cada par de puntos para determinar los lados del triángulo:

\[ d_{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Para A(7, 7) y B(-1, 1):

\[ d_{AB} = \sqrt{(7 - (-1))^2 + (7 - 1)^2} \]
\[ d_{AB} = \sqrt{8^2 + 6^2} \]
\[ d_{AB} = \sqrt{64 + 36} \]
\[ d_{AB} = \sqrt{100} \]
\[ d_{AB} = 10 \]

Para B(-1, 1) y C(2, -3):

\[ d_{BC} = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - 1)^2} \]
\[ d_{BC} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} \]
\[ d_{BC} = \sqrt{9 + 16} \]
\[ d_{BC} = \sqrt{25} \]
\[ d_{BC} = 5 \]

Para A(7, 7) y C(2, -3):

\[ d_{AC} = \sqrt{(2 - 7)^2 + (-3 - 7)^2} \]
\[ d_{AC} = \sqrt{(-5)^2 + (-10)^2} \]
\[ d_{AC} = \sqrt{25 + 100} \]
\[ d_{AC} = \sqrt{125} \]
\[ d_{AC} = 5\sqrt{5} \]

El perímetro del triángulo es la suma de las distancias:

\[ Perímetro = d_{AB} + d_{BC} + d_{AC} = 10 + 5 + 5\sqrt{5} \]

Para calcular el área, utilizamos la fórmula de Herón:

\[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 5 + 5\sqrt{5}}{2} \]

\[ \text{Área} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \]

Donde \(a = 10\), \(b = 5\), y \(c = 5\sqrt{5}\).

Ahora, calculamos el semiperímetro \(s\):

\[ s = \frac{10 + 5 + 5\sqrt{5}}{2} \]

Luego, el área del triángulo es:

\[ \text{Área} = \sqrt{s(s - 10)(s - 5)(s - 5\sqrt{5})} \]

### Ejercicio 3
**Problema:**
¿Cuál es el valor de la pendiente \(m\) y la ordenada al origen \(b\) en la ecuación \(x - 3y = 15\)?

**Solución:**

Primero, reescribimos la ecuación en la forma \(y = mx + b\):

\[ x - 3y = 15 \]

Restamos \(x\) de ambos lados:

\[ -3y = -x + 15 \]

Dividimos ambos lados por -3:

\[ y = \frac{1}{3}x - 5 \]

Por lo tanto, la pendiente \(m\) es \(\frac{1}{3}\) y la ordenada al origen \(b\) es -5.

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¿Quieres más detalles sobre algún ejercicio o tienes alguna pregunta adicional? Aquí hay algunas preguntas que puedes hacer:

1. ¿Cómo se resuelve un problema de distancia en el espacio tridimensional?
2. ¿Cómo se determina la ecuación de una elipse dados sus focos?
3. ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un polígono irregular?
4. ¿Cómo se encuentra el centro de una circunferencia a partir de su ecuación?
5. ¿Cómo se grafica una parábola y se determinan sus puntos importantes?

**Tip:** Siempre verifica tus cálculos y resultados usando métodos alternativos para asegurar precisión.

Explore detailed solutions for solving distance problems between points, calculating the perimeter and area of triangles using Heron's formula, and finding the slope and y-intercept of linear equations. Perfect for Grades 8-12 students.

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