この問題を解くためには、まず、四面体の性質と、ベクトルを使った平面の判定について理解する必要があります。

前提条件の整理

1. 四面体 $ABCD$ が与えられており、辺の中点をそれぞれ $P, Q, R, S, T, U$ とする。
2. 6点 $P, Q, R, S, T, U$ の中から任意の4点を選んだとき、その4点が同一平面上にあるならば、次の性質（*）が成り立つ：
   • 選んだ4点を含む平面と残り2点を結ぶ直線は直交する。

証明の進め方

この問題では、四面体 $ABCD$ の各面がすべて合同であることを証明する必要があります。これを示すために、ベクトルの性質を利用します。

1. 各辺の中点のベクトル表現

四面体の頂点を以下のようにベクトルで表します：

• 頂点 $A$ をベクトル $\mathbf{a}$
• 頂点 $B$ をベクトル $\mathbf{b}$
• 頂点 $C$ をベクトル $\mathbf{c}$
• 頂点 $D$ をベクトル $\mathbf{d}$

辺の中点を以下のように表現できます：

• $P$（辺 $AB$ の中点）: $\mathbf{p} = \frac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b})$
• $Q$（辺 $AC$ の中点）: $\mathbf{q} = \frac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{c})$
• $R$（辺 $AD$ の中点）: $\mathbf{r} = \frac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{d})$
• $S$（辺 $CD$ の中点）: $\mathbf{s} = \frac{1}{2}(\mathbf{c} + \mathbf{d})$
• $T$（辺 $DB$ の中点）: $\mathbf{t} = \frac{1}{2}(\mathbf{d} + \mathbf{b})$
• $U$（辺 $BC$ の中点）: $\mathbf{u} = \frac{1}{2}(\mathbf{b} + \mathbf{c})$

2. （*）の条件の解析

次に、選ばれた4点が同一平面上にある場合、その4点を含む平面と残りの2点を結ぶ直線が直交することを示します。例えば、点 $P, Q, R, S$ が同一平面上にある場合、これらの4点が平面を成すためのベクトル条件は：

$(\mathbf{p} - \mathbf{q}) \times (\mathbf{p} - \mathbf{r}) \cdot (\mathbf{p} - \mathbf{s}) = 0$

次に、この平面と残りの2点（例えば $T, U$）を結ぶ直線との直交条件は、以下のスカラー積が0になることです。

$(\mathbf{p} - \mathbf{t}) \cdot (\mathbf{p} - \mathbf{s}) = 0$

これを同様に他の組み合わせについても考えます。この計算結果が全ての組み合わせで成り立つ場合、各面が合同である条件が導かれます。

3. 各面が合同であることの証明

上記の条件を満たすためには、四面体のすべての辺の長さが等しくなること、すなわち各面が合同であることが必要です。このため、四面体 $ABCD$ は正四面体であることが示されます。

四面体 $ABCD$ の各面がすべて合同であることが、（*）の条件を満たす場合に成り立つことが証明されました。

追加質問

1. 正四面体の特徴について他の証明方法はありますか？
2. （*）の条件が成立する例を具体的に挙げてください。
3. ベクトルを用いた平面の方程式の立て方について詳しく説明してください。
4. 各辺の中点を結んでできる図形の特徴について教えてください。
5. 三次元ベクトルのスカラー積とベクトル積の違いについて説明してください。

Tip

ベクトルを使って空間内の平面を定義する際には、3点の位置ベクトルから面積ベクトルを求め、その面積ベクトルが直交条件を満たすかをチェックすると、平面と直線の関係がわかりやすくなります。