Дан куб ABCDA, B,C,D,. Найдите угол между прямыми А, и В,С1. Ответ запишите в градусах.

Рассмотрим задачу на нахождение угла между прямыми \( A_1A \) и \( B_1C \) в кубе \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). 

Обозначим вершины куба и расположим их следующим образом в прямоугольной системе координат:

- \( A(0, 0, 0) \)  
- \( B(1, 0, 0) \)  
- \( C(1, 1, 0) \)  
- \( D(0, 1, 0) \)  
- \( A_1(0, 0, 1) \)  
- \( B_1(1, 0, 1) \)  
- \( C_1(1, 1, 1) \)  
- \( D_1(0, 1, 1) \)

Теперь найдём координаты точек \( A_1 \) и \( B_1C_1 \):

1. **Прямая \( A_1A \):**
   - Она соединяет точки \( A_1(0, 0, 1) \) и \( A(0, 0, 0) \).
   - Вектор \( \vec{A_1A} = (0, 0, -1) \).

2. **Прямая \( B_1C_1 \):**
   - Она соединяет точки \( B_1(1, 0, 1) \) и \( C_1(1, 1, 1) \).
   - Вектор \( \vec{B_1C_1} = (0, 1, 0) \).

### Угол между двумя прямыми
Угол между двумя векторами \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) находим по формуле:

\[
\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|},
\]
где \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) — скалярное произведение векторов, а \( |\vec{u}| \) и \( |\vec{v}| \) — их длины.

---

### Шаг 1: Скалярное произведение векторов
Для \( \vec{A_1A} = (0, 0, -1) \) и \( \vec{B_1C_1} = (0, 1, 0) \) скалярное произведение:

\[
\vec{A_1A} \cdot \vec{B_1C_1} = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 = 0.
\]

---

### Шаг 2: Длины векторов
Длина \( \vec{A_1A} \):

\[
|\vec{A_1A}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-1)^2} = 1.
\]

Длина \( \vec{B_1C_1} \):

\[
|\vec{B_1C_1}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1.
\]

---

### Шаг 3: Косинус угла
Так как скалярное произведение равно 0, косинус угла равен:

\[
\cos \alpha = \frac{0}{1 \cdot 1} = 0.
\]

Следовательно, угол \( \alpha \) равен \( 90^\circ \).

---

### Ответ:
**Угол между прямыми \( A_1A \) и \( B_1C_1 \) равен \( 90^\circ \).**

---

Есть ли у вас дополнительные вопросы или нужны детали? Вот несколько смежных вопросов для практики:

1. Как найти угол между прямой и плоскостью в кубе?
2. Как найти угол между диагоналями куба?
3. Как вычислить длину диагонали куба через его сторону?
4. Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?
5. Как определить угол между двумя плоскостями в кубе?

**Совет**: Всегда используйте векторы для решения задач на углы и расстояния в пространственных фигурах.

Explore how to find the angle between the lines A1A and B1C1 in a cube using vector algebra and spatial geometry. This problem involves calculating vector lengths, the dot product, and applying the cosine formula to determine the 90° angle. Ideal for Grades 9-11 students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation