Рассмотрим задачу на нахождение угла между прямыми $A_1A$ и $B_1C$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Обозначим вершины куба и расположим их следующим образом в прямоугольной системе координат:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(1, 0, 0)$
• $C(1, 1, 0)$
• $D(0, 1, 0)$
• $A_1(0, 0, 1)$
• $B_1(1, 0, 1)$
• $C_1(1, 1, 1)$
• $D_1(0, 1, 1)$

Теперь найдём координаты точек $A_1$ и $B_1C_1$:

1. Прямая $A_1A$:

   • Она соединяет точки $A_1(0, 0, 1)$ и $A(0, 0, 0)$.
   • Вектор $\vec{A_1A} = (0, 0, -1)$.

2. Прямая $B_1C_1$:

   • Она соединяет точки $B_1(1, 0, 1)$ и $C_1(1, 1, 1)$.
   • Вектор $\vec{B_1C_1} = (0, 1, 0)$.

Угол между двумя прямыми

Угол между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находим по формуле:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|},$ где $\vec{u} \cdot \vec{v}$ — скалярное произведение векторов, а $|\vec{u}|$ и $|\vec{v}|$ — их длины.

---

Шаг 1: Скалярное произведение векторов

Для $\vec{A_1A} = (0, 0, -1)$ и $\vec{B_1C_1} = (0, 1, 0)$ скалярное произведение:

$\vec{A_1A} \cdot \vec{B_1C_1} = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 = 0.$

---

Шаг 2: Длины векторов

Длина $\vec{A_1A}$:

$|\vec{A_1A}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-1)^2} = 1.$

Длина $\vec{B_1C_1}$:

$|\vec{B_1C_1}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1.$

---

Шаг 3: Косинус угла

Так как скалярное произведение равно 0, косинус угла равен:

$\cos \alpha = \frac{0}{1 \cdot 1} = 0.$

Следовательно, угол $\alpha$ равен $90^\circ$.

---

Ответ:

Угол между прямыми $A_1A$ и $B_1C_1$ равен $90^\circ$.

---

Есть ли у вас дополнительные вопросы или нужны детали? Вот несколько смежных вопросов для практики:

1. Как найти угол между прямой и плоскостью в кубе?
2. Как найти угол между диагоналями куба?
3. Как вычислить длину диагонали куба через его сторону?
4. Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?
5. Как определить угол между двумя плоскостями в кубе?

Совет: Всегда используйте векторы для решения задач на углы и расстояния в пространственных фигурах.