详细列出latex 表达式“$\sum_{i=0}^{N-1}\sum_{j=i}^{N-1}(j -i+1)$”中数学表达式的计算过程

要详细列出 LaTeX 表达式“$\sum_{i=0}^{N-1}\sum_{j=i}^{N-1}(j -i+1)$”中数学表达式的计算过程，我们可以按以下步骤进行：

1. **定义双重求和的范围和公式**：
    - 外层求和：从 $ i = 0 $ 到 $ i = N-1 $
    - 内层求和：从 $ j = i $ 到 $ j = N-1 $
    - 求和公式为 $ (j - i + 1) $

2. **分析内层求和**：
    - 对固定的 $ i $，我们求和 $ j $ 从 $ i $ 到 $ N-1 $
    - $ \sum_{j=i}^{N-1}(j - i + 1) $

3. **简化内层求和**：
    - 令 $ k = j - i $，则 $ j = k + i $，并且 $ k $ 从 $ 0 $ 到 $ N - 1 - i $
    - 求和公式变为：$ \sum_{k=0}^{N-1-i}(k + 1) $
    - 可以拆分为两个求和：$ \sum_{k=0}^{N-1-i}k + \sum_{k=0}^{N-1-i}1 $

4. **计算两个求和**：
    - $ \sum_{k=0}^{N-1-i}k = \frac{(N-1-i)(N-1-i+1)}{2} $
    - $ \sum_{k=0}^{N-1-i}1 = N-1-i+1 $

    因此，内层求和结果为：
    \[
    \sum_{k=0}^{N-1-i}(k + 1) = \frac{(N-1-i)(N-i)}{2} + (N-i)
    \]
    进一步化简：
    \[
    \frac{(N-1-i)(N-i) + 2(N-i)}{2} = \frac{N^2 - Ni - N - iN + i^2 + 2N - 2i}{2} = \frac{N^2 - 2Ni + i^2 + N}{2}
    \]

5. **外层求和**：
    - 对 $ i $ 从 0 到 $ N-1 $ 进行求和：
    \[
    \sum_{i=0}^{N-1} \left( \frac{N^2 - 2Ni + i^2 + N}{2} \right)
    \]
    拆分成单独求和：
    \[
    \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{N-1} N^2 - \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{N-1} 2Ni + \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{N-1} i^2 + \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{N-1} N
    \]

6. **分别计算每个求和**：
    - $ \sum_{i=0}^{N-1} N^2 = N^2 \times N = N^3 $
    - $ \sum_{i=0}^{N-1} 2Ni = 2N \sum_{i=0}^{N-1} i = 2N \cdot \frac{(N-1)N}{2} = N^2 (N-1) $
    - $ \sum_{i=0}^{N-1} i^2 = \frac{(N-1)N(2N-1)}{6} $
    - $ \sum_{i=0}^{N-1} N = N \times N = N^2 $

    将这些结果代入：
    \[
    \frac{1}{2} \left( N^3 - N^3 + N^2 - N^2 + \frac{(N-1)N(2N-1)}{6} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{(N-1)N(2N-1)}{6} \right) = \frac{(N-1)N(2N-1)}{12}
    \]

最终结果：
\[
\sum_{i=0}^{N-1}\sum_{j=i}^{N-1}(j -i+1) = \frac{(N-1)N(2N-1)}{12}
\]

请问您是否需要进一步的详细信息或有任何问题？

您可以选择以下五个问题之一来问我：

1. 如何推导公式 $\sum_{k=0}^{n} k^2$？
2. 如何求解双重求和 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} (i+j)$？
3. 请解释一下双重求和的概念及其应用。
4. 如何计算数学表达式的极限 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$？
5. 如何在 LaTeX 中表示矩阵和行列式？

**提示**: 在进行复杂求和时，可以尝试先分解求和范围并简化每一部分的计算。

Explore the detailed calculation process of the double summation $\sum_{i=0}^{N-1}\sum_{j=i}^{N-1}(j -i+1)$ in LaTeX. This problem involves advanced mathematical concepts and summation formulas, suitable for advanced undergraduate students.

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