要详细列出 LaTeX 表达式“$\sum_{i=0}^{N-1}\sum_{j=i}^{N-1}(j -i+1)$”中数学表达式的计算过程，我们可以按以下步骤进行：

1. 定义双重求和的范围和公式：

   • 外层求和：从 $i = 0$ 到 $i = N-1$
   • 内层求和：从 $j = i$ 到 $j = N-1$
   • 求和公式为 $(j - i + 1)$

2. 分析内层求和：

   • 对固定的 $i$，我们求和 $j$ 从 $i$ 到 $N-1$
   • $\sum_{j=i}^{N-1}(j - i + 1)$

3. 简化内层求和：

   • 令 $k = j - i$，则 $j = k + i$，并且 $k$ 从 $0$ 到 $N - 1 - i$
   • 求和公式变为：$\sum_{k=0}^{N-1-i}(k + 1)$
   • 可以拆分为两个求和：$\sum_{k=0}^{N-1-i}k + \sum_{k=0}^{N-1-i}1$

4. 计算两个求和：

   • $\sum_{k=0}^{N-1-i}k = \frac{(N-1-i)(N-1-i+1)}{2}$
   • $\sum_{k=0}^{N-1-i}1 = N-1-i+1$

   因此，内层求和结果为： $\sum_{k=0}^{N-1-i}(k + 1) = \frac{(N-1-i)(N-i)}{2} + (N-i)$ 进一步化简： $\frac{(N-1-i)(N-i) + 2(N-i)}{2} = \frac{N^2 - Ni - N - iN + i^2 + 2N - 2i}{2} = \frac{N^2 - 2Ni + i^2 + N}{2}$

5. 外层求和：

   • 对 $i$ 从 0 到 $N-1$ 进行求和： $\sum_{i=0}^{N-1} \left( \frac{N^2 - 2Ni + i^2 + N}{2} \right)$ 拆分成单独求和： $\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{N-1} N^2 - \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{N-1} 2Ni + \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{N-1} i^2 + \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{N-1} N$

6. 分别计算每个求和：

   • $\sum_{i=0}^{N-1} N^2 = N^2 \times N = N^3$
   • $\sum_{i=0}^{N-1} 2Ni = 2N \sum_{i=0}^{N-1} i = 2N \cdot \frac{(N-1)N}{2} = N^2 (N-1)$
   • $\sum_{i=0}^{N-1} i^2 = \frac{(N-1)N(2N-1)}{6}$
   • $\sum_{i=0}^{N-1} N = N \times N = N^2$

   将这些结果代入： $\frac{1}{2} \left( N^3 - N^3 + N^2 - N^2 + \frac{(N-1)N(2N-1)}{6} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{(N-1)N(2N-1)}{6} \right) = \frac{(N-1)N(2N-1)}{12}$

最终结果： $\sum_{i=0}^{N-1}\sum_{j=i}^{N-1}(j -i+1) = \frac{(N-1)N(2N-1)}{12}$

请问您是否需要进一步的详细信息或有任何问题？

您可以选择以下五个问题之一来问我：

1. 如何推导公式 $\sum_{k=0}^{n} k^2$？
2. 如何求解双重求和 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} (i+j)$？
3. 请解释一下双重求和的概念及其应用。
4. 如何计算数学表达式的极限 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$？
5. 如何在 LaTeX 中表示矩阵和行列式？

提示: 在进行复杂求和时，可以尝试先分解求和范围并简化每一部分的计算。