Pour justifier que :

$\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n 1 = \sum_{k=0}^{2n} \sum_{i+j=k} 1$

il s'agit de comprendre que les deux expressions comptent le même nombre d'occurrences des paires $(i, j)$ telles que $i, j \in \{0, 1, \dots, n\}$, mais présentées sous deux formes différentes. Voici les étapes détaillées de la justification :

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1. Première forme : $\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n 1$

Cette somme représente le comptage direct de toutes les paires $(i, j)$ où :

• $i$ varie de $0$ à $n$, et
• $j$ varie de $0$ à $n$.

Le terme $1$ ajouté pour chaque paire signifie que nous comptons simplement le nombre total de paires $(i, j)$. Comme $i$ peut prendre $n+1$ valeurs ($0, 1, \dots, n$) et $j$ aussi $n+1$ valeurs, le total est :

$\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n 1 = (n+1) \cdot (n+1)$

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2. Deuxième forme : $\sum_{k=0}^{2n} \sum_{i+j=k} 1$

Ici, nous réorganisons le comptage en regroupant les paires $(i, j)$ selon la somme $k = i+j$.

a) Les valeurs possibles de $k$ :

• La somme $k = i+j$ varie de $0$ (quand $i=0$ et $j=0$) jusqu’à $2n$ (quand $i=n$ et $j=n$).

b) Nombre de paires pour chaque $k$ :

Pour une valeur fixée de $k$, les paires $(i, j)$ telles que $i+j=k$ correspondent aux solutions dans $[0, n]$. Leur nombre dépend de $k$ :

• Si $k \leq n$, $i$ varie de $0$ à $k$ et $j = k - i$. Cela donne $k+1$ solutions.
• Si $k > n$, $i$ varie de $k-n$ à $n$ et $j = k - i$. Cela donne $2n-k+1$ solutions.

Ainsi, $\sum_{i+j=k} 1$ compte toutes les paires $(i, j)$ pour une valeur donnée de $k$.

c) Total des paires pour tous les $k$ :

En sommant sur toutes les valeurs de $k$ de $0$ à $2n$, nous obtenons également toutes les paires $(i, j)$, sans en omettre ni en dupliquer. Donc, cette somme est également égale au total :

$\sum_{k=0}^{2n} \sum_{i+j=k} 1 = (n+1) \cdot (n+1)$

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3. Équivalence

Nous voyons que les deux expressions comptent exactement les mêmes paires $(i, j)$ :

1. La première somme les compte directement.
2. La seconde les regroupe selon la valeur de $k = i+j$.

Cela justifie l'égalité :

$\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n 1 = \sum_{k=0}^{2n} \sum_{i+j=k} 1$

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Questions associées :

1. Comment généraliser cette justification à des sommes multidimensionnelles ($i+j+k = m$) ?
2. Quelle est l'interprétation géométrique des paires $(i, j)$ dans un tableau ?
3. Quel est l'impact de modifier les bornes de $i$ et $j$ (par exemple $i, j \in [0, m]$) sur la somme totale ?
4. Peut-on décomposer cette équivalence en utilisant des coefficients binomiaux ?
5. Comment démontrer rigoureusement cette égalité en utilisant une preuve par récurrence ?

Tip : Dans ce type de problème, la clé est souvent de visualiser les indices $(i, j)$ dans un tableau ou une grille pour mieux comprendre leur relation avec $k$.