Démontrer par récurrence que pour tout n appartenant à N 2^(2n+1)+3^(2n+1) est multiple de 5

Pour démontrer par récurrence que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( 2^{2n+1} + 3^{2n+1} \) est multiple de 5, suivons les étapes suivantes :

### 1. **Initialisation (cas de base) :**

Pour \( n = 0 \), vérifions que l'expression est bien un multiple de 5.

\[
2^{2(0)+1} + 3^{2(0)+1} = 2^1 + 3^1 = 2 + 3 = 5
\]

\( 5 \) est bien multiple de 5. Le cas de base est donc vérifié.

### 2. **Hypothèse de récurrence :**

Supposons que pour un certain entier \( n = k \), l'assertion est vraie. Autrement dit, supposons que :

\[
2^{2k+1} + 3^{2k+1} \text{ est divisible par 5.}
\]

Cela signifie qu'il existe un entier \( m \) tel que :

\[
2^{2k+1} + 3^{2k+1} = 5m.
\]

### 3. **Étape de récurrence :**

Montrons que cela implique que \( 2^{2(k+1)+1} + 3^{2(k+1)+1} \) est également divisible par 5.

L'expression pour \( n = k+1 \) est :

\[
2^{2(k+1)+1} + 3^{2(k+1)+1} = 2^{2k+3} + 3^{2k+3}.
\]

Remarquons que :

\[
2^{2k+3} = 2^{2k+1} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{2k+1},
\]
\[
3^{2k+3} = 3^{2k+1} \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^{2k+1}.
\]

Ainsi, on obtient :

\[
2^{2k+3} + 3^{2k+3} = 4 \cdot 2^{2k+1} + 9 \cdot 3^{2k+1}.
\]

Utilisons l'hypothèse de récurrence \( 2^{2k+1} + 3^{2k+1} = 5m \) :

\[
2^{2k+3} + 3^{2k+3} = 4 \cdot 2^{2k+1} + 9 \cdot 3^{2k+1} = 4 \cdot (5m - 3^{2k+1}) + 9 \cdot 3^{2k+1}.
\]

Continuons avec ces calculs modulo 5 pour simplifier. Observons que :

\[
2^{2(k+1)+1} + 3^{2(k+1)+

Découvrez comment démontrer par récurrence que pour tout n appartenant à N, l'expression 2^(2n+1) + 3^(2n+1) est un multiple de 5. Ce problème aborde des concepts clés tels que l'induction mathématique, l'arithmétique modulo, et les exposants. Convient aux élèves de 11e à 12e année.

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