Pour démontrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $2^{2n+1} + 3^{2n+1}$ est multiple de 5, suivons les étapes suivantes :

1. Initialisation (cas de base) :

Pour $n = 0$, vérifions que l'expression est bien un multiple de 5.

$2^{2(0)+1} + 3^{2(0)+1} = 2^1 + 3^1 = 2 + 3 = 5$

$5$ est bien multiple de 5. Le cas de base est donc vérifié.

2. Hypothèse de récurrence :

Supposons que pour un certain entier $n = k$, l'assertion est vraie. Autrement dit, supposons que :

$2^{2k+1} + 3^{2k+1} \text{ est divisible par 5.}$

Cela signifie qu'il existe un entier $m$ tel que :

$2^{2k+1} + 3^{2k+1} = 5m.$

3. Étape de récurrence :

Montrons que cela implique que $2^{2(k+1)+1} + 3^{2(k+1)+1}$ est également divisible par 5.

L'expression pour $n = k+1$ est :

$2^{2(k+1)+1} + 3^{2(k+1)+1} = 2^{2k+3} + 3^{2k+3}.$

Remarquons que :

$2^{2k+3} = 2^{2k+1} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{2k+1},$ $3^{2k+3} = 3^{2k+1} \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^{2k+1}.$

Ainsi, on obtient :

$2^{2k+3} + 3^{2k+3} = 4 \cdot 2^{2k+1} + 9 \cdot 3^{2k+1}.$

Utilisons l'hypothèse de récurrence $2^{2k+1} + 3^{2k+1} = 5m$ :

$2^{2k+3} + 3^{2k+3} = 4 \cdot 2^{2k+1} + 9 \cdot 3^{2k+1} = 4 \cdot (5m - 3^{2k+1}) + 9 \cdot 3^{2k+1}.$

Continuons avec ces calculs modulo 5 pour simplifier. Observons que :

[ 2^{2(k+1)+1} + 3^{2(k+1)+