Для того чтобы доказать утверждение $n^5 - n + 5 \equiv 0 \pmod{5}$ для всех $n \in \mathbb{N}$ с помощью метода математической индукции, выполним следующие шаги:

Шаг 1: Проверка базы индукции

Рассмотрим $n = 1$:

$n^5 - n + 5 = 1^5 - 1 + 5 = 1 - 1 + 5 = 5$

$5 \equiv 0 \pmod{5}$

База индукции выполнена.

Шаг 2: Индукционное предположение

Предположим, что утверждение верно для некоторого $n = k$, то есть:

$k^5 - k + 5 \equiv 0 \pmod{5}$

Это означает, что $k^5 - k + 5$ делится на 5.

Шаг 3: Шаг индукции

Докажем, что утверждение верно для $n = k + 1$, то есть:

$(k+1)^5 - (k+1) + 5 \equiv 0 \pmod{5}$

Раскроем $(k+1)^5$ по биному Ньютона:

$(k+1)^5 = k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1$

Теперь подставим это выражение в наше утверждение:

$(k+1)^5 - (k+1) + 5 = \left(k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1\right) - (k+1) + 5$

Упрощаем:

$= k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1 - k - 1 + 5$

$= k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 4k + 5$

Теперь заметим, что все слагаемые, кроме $k^5$ и $4k + 5$, содержат множители 5:

$k^5 + 5(k^4 + 2k^3 + 2k^2) + (4k + 5)$

Все слагаемые, кроме $4k + 5$, делятся на 5, а $4k + 5 \equiv 0 \pmod{5}$, так как $4k \equiv -k \pmod{5}$, и $-k + 5 \equiv 0 \pmod{5}$.

Таким образом, выражение $(k+1)^5 - (k+1) + 5 \equiv 0 \pmod{5}$, что завершает шаг индукции.

Заключение:

Мы доказали утверждение с помощью метода математической индукции. Утверждение верно для всех $n \in \mathbb{N}$.

---

Есть ли вопросы или требуется дополнительное разъяснение?

Вот 5 вопросов, связанных с индукцией:

1. Какова роль базового шага в методе математической индукции?
2. Почему важно сделать индукционное предположение?
3. Как биномиальная теорема помогает в индукционных доказательствах?
4. В каких ещё задачах полезно использовать индукцию?
5. Можно ли модифицировать индукцию для более сложных множеств, кроме $\mathbb{N}$?

Совет: В индукционных доказательствах ключевое внимание следует уделять правильному предположению и тщательной проверке всех шагов.