Доказать следующие утверждения с помощью метода математической индукции:
(c) Для всех 𝑛 ∈ N верно:
𝑛5 - 𝑛 + 5 ≡ 0(mod 5)


Для того чтобы доказать утверждение \( n^5 - n + 5 \equiv 0 \pmod{5} \) для всех \( n \in \mathbb{N} \) с помощью метода математической индукции, выполним следующие шаги:

### Шаг 1: Проверка базы индукции
Рассмотрим \( n = 1 \):

\[
n^5 - n + 5 = 1^5 - 1 + 5 = 1 - 1 + 5 = 5
\]

\[
5 \equiv 0 \pmod{5}
\]

База индукции выполнена.

### Шаг 2: Индукционное предположение
Предположим, что утверждение верно для некоторого \( n = k \), то есть:

\[
k^5 - k + 5 \equiv 0 \pmod{5}
\]

Это означает, что \( k^5 - k + 5 \) делится на 5.

### Шаг 3: Шаг индукции
Докажем, что утверждение верно для \( n = k + 1 \), то есть:

\[
(k+1)^5 - (k+1) + 5 \equiv 0 \pmod{5}
\]

Раскроем \( (k+1)^5 \) по биному Ньютона:

\[
(k+1)^5 = k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1
\]

Теперь подставим это выражение в наше утверждение:

\[
(k+1)^5 - (k+1) + 5 = \left(k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1\right) - (k+1) + 5
\]

Упрощаем:

\[
= k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1 - k - 1 + 5
\]

\[
= k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 4k + 5
\]

Теперь заметим, что все слагаемые, кроме \( k^5 \) и \( 4k + 5 \), содержат множители 5:

\[
k^5 + 5(k^4 + 2k^3 + 2k^2) + (4k + 5)
\]

Все слагаемые, кроме \( 4k + 5 \), делятся на 5, а \( 4k + 5 \equiv 0 \pmod{5} \), так как \( 4k \equiv -k \pmod{5} \), и \( -k + 5 \equiv 0 \pmod{5} \).

Таким образом, выражение \( (k+1)^5 - (k+1) + 5 \equiv 0 \pmod{5} \), что завершает шаг индукции.

### Заключение:
Мы доказали утверждение с помощью метода математической индукции. Утверждение верно для всех \( n \in \mathbb{N} \).

---

Есть ли вопросы или требуется дополнительное разъяснение?

Вот 5 вопросов, связанных с индукцией:
1. Какова роль базового шага в методе математической индукции?
2. Почему важно сделать индукционное предположение?
3. Как биномиальная теорема помогает в индукционных доказательствах?
4. В каких ещё задачах полезно использовать индукцию?
5. Можно ли модифицировать индукцию для более сложных множеств, кроме \( \mathbb{N} \)?

**Совет**: В индукционных доказательствах ключевое внимание следует уделять правильному предположению и тщательной проверке всех шагов.

Доказать следующие утверждения с помощью метода математической индукции: (c) Для всех 𝑛 ∈ N верно: 𝑛^5 - 𝑛 + 5 ≡ 0(mod 5)

Explore the proof of the mathematical statement n^5 - n + 5 ≡ 0 (mod 5) using the method of mathematical induction. This step-by-step solution covers key concepts in number theory, modulo arithmetic, and the binomial theorem. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation