1. D´emontrer les propositions suivantes :
(a) Pour tous r´eels x et y, on a : x + y 6= −1 ou xy 6= 1.
(b) Pour tous r´eels x et y, si x 6= 0 et y 6= 0 alors xy 6= 0.
(c) Pour tous r´eels positifs x et y, si
x
1 + y
=
y
1 + x
alors x = y

Voici les démonstrations pour les propositions données :

### Proposition (a) : 
Pour tous réels \( x \) et \( y \), on a \( x + y \neq -1 \) ou \( xy \neq 1 \).

#### Démonstration :
On veut démontrer que pour tous réels \( x \) et \( y \), la disjonction suivante est vraie : 
\[ (x + y \neq -1) \text{ ou } (xy \neq 1). \]

Pour montrer cela, nous procédons par contraposée. Supposons que les deux propositions soient fausses :
- \( x + y = -1 \),
- \( xy = 1 \).

Nous allons vérifier s'il existe des réels \( x \) et \( y \) qui satisfont ces deux équations simultanément. 

- De \( x + y = -1 \), on peut exprimer \( y \) en fonction de \( x \) :
  \[
  y = -1 - x.
  \]

- En substituant cette expression dans \( xy = 1 \), on obtient :
  \[
  x(-1 - x) = 1 \quad \Rightarrow \quad -x - x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 + x + 1 = 0.
  \]

Cependant, l'équation quadratique \( x^2 + x + 1 = 0 \) n'a pas de solution réelle car son discriminant est négatif :
\[
\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3.
\]
Ainsi, il n'existe pas de réels \( x \) et \( y \) qui satisfont à la fois \( x + y = -1 \) et \( xy = 1 \).

Par conséquent, la contraposée est vraie, donc la proposition initiale est démontrée :
\[ x + y \neq -1 \text{ ou } xy \neq 1. \]

---

### Proposition (b) :
Pour tous réels \( x \) et \( y \), si \( x \neq 0 \) et \( y \neq 0 \), alors \( xy \neq 0 \).

#### Démonstration :
Nous savons que le produit de deux réels est nul si et seulement si l'un des deux facteurs est nul, c'est-à-dire :
\[ xy = 0 \quad \text{si et seulement si} \quad x = 0 \text{ ou } y = 0. \]

Or, dans cette proposition, il est spécifié que \( x \neq 0 \) et \( y \neq 0 \). Donc, ni \( x \) ni \( y \) ne sont égaux à zéro. En conséquence, leur produit ne peut pas être nul, c'est-à-dire :
\[
xy \neq 0.
\]

Cette implication est donc vérifiée.

---

### Proposition (c) :
Pour tous réels positifs \( x \) et \( y \), si
\[
\frac{x}{1 + y} = \frac{y}{1 + x},
\]
alors \( x = y \).

#### Démonstration :
Nous partons de l'égalité donnée :
\[
\frac{x}{1 + y} = \frac{y}{1 + x}.
\]

En croisant les termes, on obtient :
\[
x(1 + x) = y(1 + y).
\]

Ce qui donne :
\[
x + x^2 = y + y^2.
\]

Réarrangeons l'équation pour obtenir :
\[
x^2 - y^2 = y - x.
\]

On reconnaît une différence de carrés à gauche :
\[
(x - y)(x + y) = y - x.
\]

En factorisant \( y - x \) à droite, cela donne :
\[
(x - y)(x + y) = -(x - y).
\]

Si \( x \neq y \), on peut diviser par \( x - y \) des deux côtés (ce qui est possible si \( x \neq y \)), et on obtient :
\[
x + y = -1,
\]
ce qui est impossible car \( x \) et \( y \) sont des réels positifs.

Ainsi, la seule possibilité est que \( x = y \).

Cela complète la démonstration.

---

Avez-vous besoin de plus de détails ou d'explications supplémentaires ?

### Questions supplémentaires :
1. Comment peut-on interpréter géométriquement la proposition (a) ?
2. Quelles sont les conséquences de la proposition (b) dans le cadre des fonctions continues ?
3. Peut-on généraliser la proposition (c) à des réels non positifs ?
4. Existe-t-il d'autres formes de démonstration pour la proposition (a) ?
5. Comment résoudre la proposition (c) si l'équation de départ était légèrement modifiée ?

### Tip :
Toujours essayer d'analyser une équation en vérifiant d'abord si les solutions évidentes ou les cas particuliers simplifient le problème.

1. D´emontrer les propositions suivantes : (a) Pour tous réels x et y, on a : x + y ≠ −1 ou xy ≠ 1. (b) Pour tous réels x et y, si x ≠ 0 et y ≠ 0 alors xy ≠ 0. (c) Pour tous réels positifs x et y, si x / (1 + y) = y / (1 + x) alors x = y.

This page provides detailed demonstrations of three algebraic propositions involving quadratic equations and real numbers. It covers contrapositive logic, solving quadratic equations, and working with positive real numbers. Suitable for undergraduate mathematics students.

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