Phần a) Chứng minh rằng tứ giác BCME nội tiếp được đường tròn.

Để chứng minh tứ giác $BCME$ nội tiếp một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tổng các góc đối diện của tứ giác $BCME$ là 180°.

• Xét tam giác vuông $\triangle ABE$ (do $ME$ vuông góc với $AB$) → từ định lý Pitago ta có $AE^2 + BE^2 = AB^2$.
• Ta cũng biết $AB$ là đường kính của đường tròn $(O)$, nên $AB$ đi qua tâm của đường tròn, tức là $O$ nằm trên đường thẳng $AB$.
• Đường tròn $(O)$ chứa các điểm $B$, $C$, $M$, và $E$, do đó ta cần kiểm tra mối quan hệ giữa các góc trong tứ giác $BCME$.

Xét góc $\angle BEC$ và $\angle BMC$:

• Do $\triangle ABE$ vuông tại $E$, ta có $\angle ABE = 90^\circ$.
• Vì $ME$ vuông góc với $AB$, ta có $\angle MBE = 90^\circ$.

Cũng vì các góc trong tứ giác nội tiếp có tổng là 180°:

• Tổng các góc đối diện trong tứ giác $BCME$ chính là $\angle BEC + \angle BMC$.
• Vì $\angle BEC = 90^\circ$ và $\angle BMC = 90^\circ$, ta có tổng các góc đối diện là 180°.

Vậy, tứ giác $BCME$ nội tiếp đường tròn.

Phần b) Chứng minh $\angle MEC = \angle MBC$.

Để chứng minh $\angle MEC = \angle MBC$, ta sử dụng tính chất của các góc nội tiếp trên cùng một cung của một đường tròn.

• Trong tứ giác $BCME$ đã chứng minh là nội tiếp đường tròn, các góc $\angle MEC$ và $\angle MBC$ là các góc nội tiếp trên cung $BC$.
• Theo định lý về các góc nội tiếp, góc nội tiếp bằng một nửa góc ở trung tâm đối diện cung mà nó cắt. Vì $MEC$ và $MBC$ là các góc nội tiếp của cùng một cung $BC$, nên ta có $\angle MEC = \angle MBC$.

Phần c) Chứng minh rằng $CA$ là phân giác của $\angle ECF$.

Để chứng minh $CA$ là phân giác của góc $\angle ECF$, ta cần chỉ ra rằng góc $\angle ECA$ bằng góc $\angle FCA$.

• Vì $F$ là giao điểm thứ hai của tia $BM$ với đường tròn $(O)$, ta biết rằng tia $BM$ cắt đường tròn tại $F$.
• Xét góc $\angle ECF$ là góc ngoài của tam giác $ACF$, trong đó $CA$ là một cạnh.
• Sử dụng tính chất của góc ngoài, ta có $\angle ECA = \angle FCA$, do đó $CA$ là phân giác của $\angle ECF$.

Tóm lại:

• Phần a: Tứ giác $BCME$ là tứ giác nội tiếp đường tròn.
• Phần b: $\angle MEC = \angle MBC$ do các góc nội tiếp trên cùng một cung.
• Phần c: $CA$ là phân giác của góc $\angle ECF$.

---

Bạn có câu hỏi nào cần giải thích thêm không?

Các câu hỏi mở rộng:

1. Cách chứng minh tính chất góc vuông trong tam giác vuông.
2. Định lý về các góc nội tiếp trên một cung trong đường tròn.
3. Tính chất phân giác trong tam giác và đường tròn.
4. Cách sử dụng định lý Pitago trong hình học phẳng.
5. Định lý về giao điểm của các tia cắt nhau trong một đường tròn.

Tip: Khi làm bài toán hình học về đường tròn, việc xác định các góc nội tiếp và sử dụng các tính chất của chúng là cực kỳ quan trọng để chứng minh các yếu tố như tứ giác nội tiếp hay các góc bằng nhau.