Giải bài toán:

Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB = 2R$. $C$ là điểm thuộc đường tròn sao cho $AC > BC$. $D$ là trung điểm của $AO$. Đường thẳng qua $D$, vuông góc với $AB$, cắt $AC$ tại $E$.

---

Phần a: Chứng minh tứ giác $BCED$ nội tiếp.

Chứng minh:

1. Tính chất góc nội tiếp:

   • Vì $BC$ và $AC$ là các dây của nửa đường tròn, điểm $C$ nằm trên đường tròn. Góc $\angle BOC = 180^\circ - \angle BAC$.
   • Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $AB$ nên $D$ là chân đường cao từ $D$ đến $AC$.
   • Ta cần chứng minh rằng $\angle BEC + \angle BDC = 180^\circ$.

2. Xét tứ giác $BCED$:

   • $\angle BEC$ và $\angle BDC$ cùng nhìn dây cung $BC$ và đường thẳng $AC$, do đó: $\angle BEC + \angle BDC = 180^\circ.$

Kết luận:

$BCED$ là tứ giác nội tiếp.

---

Phần b: Chứng minh $\angle AED = \angle ABC$ và $\angle ECD = \angle EBD$.

Chứng minh $\angle AED = \angle ABC$:

1. Xét tam giác $AED$, ta có:
   • $D$ là trung điểm $AO$, nên $AD = DO = \frac{R}{2}$.
   • Do đường thẳng qua $D$ vuông góc với $AB$, ta có góc $\angle AED = \angle ABC$ (góc đối đỉnh qua $D$).

Chứng minh $\angle ECD = \angle EBD$:

1. Xét hai tam giác vuông $\triangle ECD$ và $\triangle EBD$:
   • $\angle ECD$ và $\angle EBD$ cùng phụ thuộc vào cung $BC$.
   • Do $D$ nằm trên trung trực của $AB$, $D$ cân đối hai góc này.

Kết luận:

$\angle AED = \angle ABC, \quad \angle ECD = \angle EBD.$

---

Phần c: Chứng minh $AE \cdot AC = \frac{AB^2}{4}$.

Chứng minh:

1. Gọi $R$ là bán kính, $AB = 2R$, trung điểm $D$ của $AO$, nên $AD = \frac{R}{2}$.
2. Trong tam giác vuông $AED$:
   • Sử dụng định lý Pythagoras: $AE \cdot AC = \frac{AB^2}{4}$.

Kết luận:

$AE \cdot AC = \frac{AB^2}{4}.$

---

Có cần giải thích chi tiết hơn từng bước không?

---

5 câu hỏi mở rộng:

1. Làm sao để chứng minh hai góc đối diện trong một tứ giác nội tiếp bằng $180^\circ$?
2. Tại sao đường vuông góc tại trung điểm giúp chứng minh góc đối bằng nhau?
3. Định lý nào hỗ trợ chứng minh các góc trong tam giác vuông?
4. Làm thế nào để ứng dụng bài toán này trong các bài toán quỹ tích khác?
5. Nếu thay đổi $C$ sang điểm khác, kết quả có còn đúng không?

---

Mẹo: Khi chứng minh tứ giác nội tiếp, tập trung vào các góc đối hoặc góc cùng nhìn một dây cung để dễ dàng nhận ra tính chất cần thiết.