Pour trouver le cosinus de l'angle entre les vecteurs $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ et $\mathbf{u} \times \mathbf{w}$, nous allons suivre ces étapes :

1. Calculer le produit vectoriel $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$.
2. Calculer le produit vectoriel $\mathbf{u} \times \mathbf{w}$.
3. Calculer le produit scalaire de $(\mathbf{u} \times \mathbf{v})$ et $(\mathbf{u} \times \mathbf{w})$.
4. Calculer les normes des deux vecteurs résultants.
5. Appliquer la formule du cosinus de l'angle entre deux vecteurs.

La formule pour le cosinus de l'angle entre deux vecteurs $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$ est : $\cos \theta = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{\|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\|}$

1. Calcul du produit vectoriel $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$

$\mathbf{u} = (1, -1, 1), \quad \mathbf{v} = (2, 2, 0)$ Le produit vectoriel $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ est donné par : $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}( (-1)(0) - (1)(2) ) - \mathbf{j}( (1)(0) - (1)(2) ) + \mathbf{k}( (1)(2) - (-1)(2) )$ $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{i}(-2) - \mathbf{j}(-2) + \mathbf{k}(4) = (-2, 2, 4)$

2. Calcul du produit vectoriel $\mathbf{u} \times \mathbf{w}$

$\mathbf{w} = (3, 0, 0)$ Le produit vectoriel $\mathbf{u} \times \mathbf{w}$ est donné par : $\mathbf{u} \times \mathbf{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}( (-1)(0) - (1)(0) ) - \mathbf{j}( (1)(0) - (1)(3) ) + \mathbf{k}( (1)(0) - (-1)(3) )$ $\mathbf{u} \times \mathbf{w} = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(-3) + \mathbf{k}(3) = (0, 3, 3)$

3. Produit scalaire $(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} \times \mathbf{w})$

$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (-2, 2, 4), \quad \mathbf{u} \times \mathbf{w} = (0, 3, 3)$ Le produit scalaire est : $(-2)(0) + (2)(3) + (4)(3) = 0 + 6 + 12 = 18$

4. Normes des vecteurs $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ et $\mathbf{u} \times \mathbf{w}$

La norme de $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ est : $\|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ La norme de $\mathbf{u} \times \mathbf{w}$ est : $\|\mathbf{u} \times \mathbf{w}\| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

5. Calcul du cosinus de l'angle

Le cosinus de l'angle entre $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ et $\mathbf{u} \times \mathbf{w}$ est : $\cos \theta = \frac{18}{(2\sqrt{6})(3\sqrt{2})} = \frac{18}{6\sqrt{12}} = \frac{18}{6 \times 2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

Le cosinus de l'angle est donc $\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

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Voici 5 questions liées :

1. Comment se calcule un produit vectoriel en général ?
2. Quel est l'usage des produits scalaires dans les calculs géométriques ?
3. Quelle est l'importance des normes de vecteurs dans la géométrie vectorielle ?
4. Comment calculer l'angle entre deux vecteurs dans l'espace ?
5. Comment les produits vectoriels sont-ils utilisés en physique ?

Tip : En géométrie vectorielle, les produits vectoriels donnent des informations précieuses sur les relations directionnelles entre deux vecteurs, notamment l'orthogonalité et la perpendicularité.