Soient les vecteurs u=(1,-1,1) et v=(2,2,0) et w=(3,0,0). Alors le cosinus de l’angle entre les vecteur (u x v) et (u x w) est:

Pour trouver le cosinus de l'angle entre les vecteurs \(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) et \(\mathbf{u} \times \mathbf{w}\), nous allons suivre ces étapes :

1. **Calculer le produit vectoriel** \(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\).
2. **Calculer le produit vectoriel** \(\mathbf{u} \times \mathbf{w}\).
3. **Calculer le produit scalaire** de \((\mathbf{u} \times \mathbf{v})\) et \((\mathbf{u} \times \mathbf{w})\).
4. **Calculer les normes** des deux vecteurs résultants.
5. **Appliquer la formule** du cosinus de l'angle entre deux vecteurs.

La formule pour le cosinus de l'angle entre deux vecteurs \(\mathbf{A}\) et \(\mathbf{B}\) est :
\[
\cos \theta = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{\|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\|}
\]

### 1. Calcul du produit vectoriel \(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\)
\[
\mathbf{u} = (1, -1, 1), \quad \mathbf{v} = (2, 2, 0)
\]
Le produit vectoriel \(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) est donné par :
\[
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}( (-1)(0) - (1)(2) ) - \mathbf{j}( (1)(0) - (1)(2) ) + \mathbf{k}( (1)(2) - (-1)(2) )
\]
\[
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{i}(-2) - \mathbf{j}(-2) + \mathbf{k}(4) = (-2, 2, 4)
\]

### 2. Calcul du produit vectoriel \(\mathbf{u} \times \mathbf{w}\)
\[
\mathbf{w} = (3, 0, 0)
\]
Le produit vectoriel \(\mathbf{u} \times \mathbf{w}\) est donné par :
\[
\mathbf{u} \times \mathbf{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}( (-1)(0) - (1)(0) ) - \mathbf{j}( (1)(0) - (1)(3) ) + \mathbf{k}( (1)(0) - (-1)(3) )
\]
\[
\mathbf{u} \times \mathbf{w} = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(-3) + \mathbf{k}(3) = (0, 3, 3)
\]

### 3. Produit scalaire \((\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} \times \mathbf{w})\)
\[
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (-2, 2, 4), \quad \mathbf{u} \times \mathbf{w} = (0, 3, 3)
\]
Le produit scalaire est :
\[
(-2)(0) + (2)(3) + (4)(3) = 0 + 6 + 12 = 18
\]

### 4. Normes des vecteurs \(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) et \(\mathbf{u} \times \mathbf{w}\)
La norme de \(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) est :
\[
\|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}
\]
La norme de \(\mathbf{u} \times \mathbf{w}\) est :
\[
\|\mathbf{u} \times \mathbf{w}\| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
\]

### 5. Calcul du cosinus de l'angle
Le cosinus de l'angle entre \(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) et \(\mathbf{u} \times \mathbf{w}\) est :
\[
\cos \theta = \frac{18}{(2\sqrt{6})(3\sqrt{2})} = \frac{18}{6\sqrt{12}} = \frac{18}{6 \times 2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}
\]

Le cosinus de l'angle est donc \(\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}\).

Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions liées :
1. Comment se calcule un produit vectoriel en général ?
2. Quel est l'usage des produits scalaires dans les calculs géométriques ?
3. Quelle est l'importance des normes de vecteurs dans la géométrie vectorielle ?
4. Comment calculer l'angle entre deux vecteurs dans l'espace ?
5. Comment les produits vectoriels sont-ils utilisés en physique ?

**Tip** : En géométrie vectorielle, les produits vectoriels donnent des informations précieuses sur les relations directionnelles entre deux vecteurs, notamment l'orthogonalité et la perpendicularité.

Explore the calculation of the cosine of the angle between the cross products of vectors u = (1, -1, 1) and v = (2, 2, 0) with w = (3, 0, 0). This problem involves vector calculus, the cross product, dot product, and vector norms. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation