l’angle entre les vecteurs v et u, v= [-0.8;-0.2] et u = [-0.8;0.9]

Pour trouver l'angle entre deux vecteurs \( \vec{v} \) et \( \vec{u} \), on utilise la formule : 

\[
\cos \theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u}}{\|\vec{v}\| \|\vec{u}\|}
\]

### Étape 1 : Produit scalaire \( \vec{v} \cdot \vec{u} \)
Le produit scalaire est donné par :

\[
\vec{v} \cdot \vec{u} = v_x \cdot u_x + v_y \cdot u_y
\]

Avec \( \vec{v} = [-0.8; -0.2] \) et \( \vec{u} = [-0.8; 0.9] \), on calcule :

\[
\vec{v} \cdot \vec{u} = (-0.8) \cdot (-0.8) + (-0.2) \cdot 0.9 = 0.64 - 0.18 = 0.46
\]

### Étape 2 : Normes des vecteurs \( \|\vec{v}\| \) et \( \|\vec{u}\| \)
La norme d’un vecteur \( \vec{v} = [v_x; v_y] \) est :

\[
\|\vec{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
\]

Pour \( \vec{v} \) :

\[
\|\vec{v}\| = \sqrt{(-0.8)^2 + (-0.2)^2} = \sqrt{0.64 + 0.04} = \sqrt{0.68}
\]

Pour \( \vec{u} \) :

\[
\|\vec{u}\| = \sqrt{(-0.8)^2 + (0.9)^2} = \sqrt{0.64 + 0.81} = \sqrt{1.45}
\]

### Étape 3 : Calcul de \( \cos \theta \)
On substitue dans la formule :

\[
\cos \theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u}}{\|\vec{v}\| \|\vec{u}\|}
\]

\[
\cos \theta = \frac{0.46}{\sqrt{0.68} \cdot \sqrt{1.45}}
\]

On calcule :

\[
\cos \theta = \frac{0.46}{\sqrt{0.986}} \approx \frac{0.46}{0.993} \approx 0.463
\]

### Étape 4 : Trouver \( \theta \)
On utilise la fonction \( \arccos \) pour trouver l’angle \( \theta \) en radians :

\[
\theta = \arccos(0.463)
\]

En radians, \( \theta \approx 1.09 \) radians. En degrés, on convertit :

\[
\theta \approx 1.09 \times \frac{180}{\pi} \approx 62.5^\circ
\]

### Résultat final :
L’angle entre \( \vec{v} \) et \( \vec{u} \) est approximativement :

\[
\theta \approx 62.5^\circ
\]

Souhaitez-vous des détails sur une étape ou une clarification ? 

### Questions associées :
1. Comment interpréter le produit scalaire dans ce contexte ?
2. Quelles sont les propriétés importantes de \( \cos \theta \) dans le calcul d'angle ?
3. Comment convertir des radians en degrés plus précisément ?
4. Quels sont les cas particuliers pour lesquels \( \cos \theta \) vaut \( 1, 0 \) ou \( -1 \) ?
5. Comment géométriquement l'angle entre deux vecteurs se représente-t-il ?

### Astuce : 
Pour des calculs rapides, mémorisez la relation entre \( \cos \theta \), le produit scalaire, et les normes des vecteurs. Cela simplifie la résolution de nombreux problèmes en physique et en géométrie.

Discover how to calculate the angle between two vectors v = [-0.8, -0.2] and u = [-0.8, 0.9] using vector analysis and trigonometry. This problem involves the dot product formula, vector norms, and arccos calculations. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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