Pour trouver l'angle entre deux vecteurs $\vec{v}$ et $\vec{u}$, on utilise la formule :

$\cos \theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u}}{\|\vec{v}\| \|\vec{u}\|}$

Étape 1 : Produit scalaire $\vec{v} \cdot \vec{u}$

Le produit scalaire est donné par :

$\vec{v} \cdot \vec{u} = v_x \cdot u_x + v_y \cdot u_y$

Avec $\vec{v} = [-0.8; -0.2]$ et $\vec{u} = [-0.8; 0.9]$, on calcule :

$\vec{v} \cdot \vec{u} = (-0.8) \cdot (-0.8) + (-0.2) \cdot 0.9 = 0.64 - 0.18 = 0.46$

Étape 2 : Normes des vecteurs $\|\vec{v}\|$ et $\|\vec{u}\|$

La norme d’un vecteur $\vec{v} = [v_x; v_y]$ est :

$\|\vec{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

Pour $\vec{v}$ :

$\|\vec{v}\| = \sqrt{(-0.8)^2 + (-0.2)^2} = \sqrt{0.64 + 0.04} = \sqrt{0.68}$

Pour $\vec{u}$ :

$\|\vec{u}\| = \sqrt{(-0.8)^2 + (0.9)^2} = \sqrt{0.64 + 0.81} = \sqrt{1.45}$

Étape 3 : Calcul de $\cos \theta$

On substitue dans la formule :

$\cos \theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u}}{\|\vec{v}\| \|\vec{u}\|}$

$\cos \theta = \frac{0.46}{\sqrt{0.68} \cdot \sqrt{1.45}}$

On calcule :

$\cos \theta = \frac{0.46}{\sqrt{0.986}} \approx \frac{0.46}{0.993} \approx 0.463$

Étape 4 : Trouver $\theta$

On utilise la fonction $\arccos$ pour trouver l’angle $\theta$ en radians :

$\theta = \arccos(0.463)$

En radians, $\theta \approx 1.09$ radians. En degrés, on convertit :

$\theta \approx 1.09 \times \frac{180}{\pi} \approx 62.5^\circ$

Résultat final :

L’angle entre $\vec{v}$ et $\vec{u}$ est approximativement :

$\theta \approx 62.5^\circ$

Souhaitez-vous des détails sur une étape ou une clarification ?

Questions associées :

1. Comment interpréter le produit scalaire dans ce contexte ?
2. Quelles sont les propriétés importantes de $\cos \theta$ dans le calcul d'angle ?
3. Comment convertir des radians en degrés plus précisément ?
4. Quels sont les cas particuliers pour lesquels $\cos \theta$ vaut $1, 0$ ou $-1$ ?
5. Comment géométriquement l'angle entre deux vecteurs se représente-t-il ?

Astuce :

Pour des calculs rapides, mémorisez la relation entre $\cos \theta$, le produit scalaire, et les normes des vecteurs. Cela simplifie la résolution de nombreux problèmes en physique et en géométrie.