epresenta en forma exponencial compleja 2–√2+2–√2i

Para representar el número complejo \( 2 - \sqrt{2} + (2 - \sqrt{2})i \) en forma exponencial, utilizamos la fórmula:

\[
z = r e^{i \theta}
\]

Donde:

- \( r \) es el módulo del número complejo.
- \( \theta \) es el argumento (ángulo) en radianes.

### Paso 1: Hallar el módulo \( r \)
El módulo de un número complejo \( z = a + bi \) se calcula como:

\[
r = \sqrt{a^2 + b^2}
\]

Aquí, \( a = 2 - \sqrt{2} \) y \( b = 2 - \sqrt{2} \). Entonces:

\[
r = \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2 + (2 - \sqrt{2})^2}
\]

Calculamos cada término:

\[
r = \sqrt{2 \times (2 - \sqrt{2})^2}
\]

Desarrollamos el cuadrado:

\[
r = \sqrt{2 \times \left( 4 - 4\sqrt{2} + 2 \right)} = \sqrt{2 \times (6 - 4\sqrt{2})}
\]

\[
r = \sqrt{12 - 8\sqrt{2}}
\]

### Paso 2: Hallar el argumento \( \theta \)
El argumento se calcula como:

\[
\theta = \text{atan2}(b, a)
\]

En este caso, dado que \( a = b \), el ángulo \( \theta \) es \( \frac{\pi}{4} \).

### Resultado final
Por lo tanto, la representación exponencial del número complejo es:

\[
z = r e^{i \frac{\pi}{4}}
\]

Puedo seguir con los cálculos si quieres más detalles. ¿Te gustaría una explicación más detallada o resolverlo paso a paso? 

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se simplifican expresiones de números complejos?
2. ¿Qué es el argumento de un número complejo?
3. ¿Cómo se pasa de la forma polar a la forma rectangular de un número complejo?
4. ¿Cómo se puede interpretar geométricamente la forma exponencial de un número complejo?
5. ¿Cuáles son las propiedades de los números complejos en forma exponencial?

**Tip:** En la forma exponencial, el argumento \( \theta \) es el ángulo que forma el número complejo con el eje real en el plano complejo.

Learn how to represent the complex number 2 - √2 + (2 - √2)i in exponential form using the modulus and argument method. This step-by-step guide covers key concepts like Euler's formula, polar coordinates, and the Pythagorean theorem. Suitable for Grades 10-12 students.

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