Para representar el número complejo $2 - \sqrt{2} + (2 - \sqrt{2})i$ en forma exponencial, utilizamos la fórmula:

$z = r e^{i \theta}$

Donde:

• $r$ es el módulo del número complejo.
• $\theta$ es el argumento (ángulo) en radianes.

Paso 1: Hallar el módulo $r$

El módulo de un número complejo $z = a + bi$ se calcula como:

$r = \sqrt{a^2 + b^2}$

Aquí, $a = 2 - \sqrt{2}$ y $b = 2 - \sqrt{2}$. Entonces:

$r = \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2 + (2 - \sqrt{2})^2}$

Calculamos cada término:

$r = \sqrt{2 \times (2 - \sqrt{2})^2}$

Desarrollamos el cuadrado:

$r = \sqrt{2 \times \left( 4 - 4\sqrt{2} + 2 \right)} = \sqrt{2 \times (6 - 4\sqrt{2})}$

$r = \sqrt{12 - 8\sqrt{2}}$

Paso 2: Hallar el argumento $\theta$

El argumento se calcula como:

$\theta = \text{atan2}(b, a)$

En este caso, dado que $a = b$, el ángulo $\theta$ es $\frac{\pi}{4}$.

Resultado final

Por lo tanto, la representación exponencial del número complejo es:

$z = r e^{i \frac{\pi}{4}}$

Puedo seguir con los cálculos si quieres más detalles. ¿Te gustaría una explicación más detallada o resolverlo paso a paso?

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Tip: En la forma exponencial, el argumento $\theta$ es el ángulo que forma el número complejo con el eje real en el plano complejo.