已知平面上有 4 个点，如何做出一个正方形使得这四个点正好在正方形的四条边上？

要做一个正方形使得平面上的四个点正好在正方形的四条边上，可以按照以下步骤进行：

### 步骤：
1. **标记四个点**：
   - 设平面上的四个点分别为 \( A(x_1, y_1) \)、\( B(x_2, y_2) \)、\( C(x_3, y_3) \) 和 \( D(x_4, y_4) \)。

2. **选择一个初始点和边的方向**：
   - 从这四个点中任选一个作为初始点，比如选择 \( A \) 点，然后设定初始边的方向（比如沿 x 轴正方向）。

3. **计算正方形的边长**：
   - 设正方形的边长为 \( s \)，并确定初始边的长度和方向。通过四个点的相对位置关系和几何构造确定正方形的边长 \( s \)。

4. **构建正方形的顶点**：
   - 以初始点 \( A \) 为起点，按照正方形的边长和方向构建正方形的其他三个顶点：
     - 顶点 \( B \) 位于 \( A \) 的右侧，距离为边长 \( s \)。
     - 顶点 \( C \) 位于 \( A \) 和 \( B \) 的正上方，距离均为边长 \( s \)。
     - 顶点 \( D \) 位于 \( A \) 的正上方，距离为边长 \( s \)。

5. **调整顶点位置**：
   - 由于四个点不一定在初始正方形的顶点上，所以需要通过旋转、平移和缩放正方形来使得四个点正好落在正方形的四条边上。

6. **验证四个点的位置**：
   - 逐一检查四个点是否在正方形的四条边上，并调整正方形的位置和大小使得每个点都在边上。

### 实际操作：

由于实际操作中，四个点的具体位置会影响正方形的构造，以下是一些几何变换和计算的具体步骤：

1. **以一个点为原点**：
   - 将一个点 \( A \) 移到坐标原点 \((0,0)\)。

2. **旋转和缩放**：
   - 旋转坐标系，使得另一点 \( B \) 位于 x 轴上。计算旋转角度 \(\theta\)。
   - 将其他两个点 \( C \) 和 \( D \) 通过旋转变换到新坐标系中。

3. **计算边长**：
   - 计算以 \( A \) 为原点， \( B \) 为 x 轴上的点，正方形的边长 \( s \)。

4. **构造正方形**：
   - 以 \( A \) 为原点，构造四个顶点的坐标，并平移到正确的位置。

这个过程需要对几何变换（旋转、平移、缩放）有一定的了解，同时需要使用一些基本的代数运算。下面是一个简单的示例代码，用于验证并计算正方形的顶点：

```python
import numpy as np

# 四个点的坐标
A = np.array([x1, y1])
B = np.array([x2, y2])
C = np.array([x3, y3])
D = np.array([x4, y4])

# 计算边长和旋转角度
s = np.linalg.norm(B - A)
theta = np.arctan2(B[1] - A[1], B[0] - A[0])

# 构造旋转矩阵
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)], [np.sin(theta), np.cos(theta)]])

# 旋转其他点
C_rotated = R.dot(C - A)
D_rotated = R.dot(D - A)

# 验证四个点是否在正方形边上并调整
# (具体调整步骤略，需要根据实际点的位置进行多次迭代和调整)

# 输出结果
print("四个点构成的正方形顶点坐标为：")
print("A:", A)
print("B:", B)
print("C:", C_rotated + A)
print("D:", D_rotated + A)
```

通过这个示例，可以帮助你理解如何使用几何变换和代数计算来构造包含四个点的正方形。

需要进一步的说明或有其他问题吗？您可以选择以下问题之一进行提问：

1. 如何计算平面上两个点之间的距离？
2. 如何进行坐标平面的旋转变换？
3. 如何判断一个点是否在某条直线上？
4. 如何计算平面图形的面积？
5. 如何使用几何软件构造和验证图形？

**小提示**: 在几何问题中，使用图形工具或软件（如GeoGebra）可以帮助更直观地理解和解决问题。

Learn how to construct a square on a plane with four points exactly on its sides. This problem involves applying geometric concepts such as the distance formula and rotation matrices to ensure the points are correctly positioned on the square's sides. Suitable for high school students studying coordinate geometry.

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