Math Problem Statement
Найти условный экстремум функции z=x4+2x2 при условии x^2-2y-3=0
Solution
Для нахождения условного экстремума функции при условии воспользуемся методом множителей Лагранжа.
Функция Лагранжа для задачи будет иметь вид: где — множитель Лагранжа.
Теперь найдем частные производные по , и и приравняем их к нулю:
-
Частная производная по :
-
Частная производная по :
-
Частная производная по :
Решение системы уравнений
Рассмотрим каждое уравнение.
-
Из второго уравнения , получаем, что .
-
Подставляем в первое уравнение: или Отсюда (так как для всех ).
-
Подставляем в третье уравнение:
Таким образом, единственная точка, которая удовлетворяет всем условиям, это точка .
Значение функции в найденной точке
Теперь подставим в функцию :
Ответ
Условный экстремум функции при данных ограничениях достигается в точке , и значение функции .
Желаете ли вы подробное объяснение каждого этапа или есть вопросы?
Вот несколько вопросов для дальнейшего изучения:
- Как работает метод множителей Лагранжа?
- Какие типы экстремумов можно найти с помощью множителей Лагранжа?
- Что означает «условный экстремум» в задачах оптимизации?
- Как проверить, является ли найденное значение максимумом или минимумом?
- Как применять метод Лагранжа для более сложных функций и условий?
Совет: При использовании метода множителей Лагранжа всегда проверяйте правильность исходного ограничения перед поиском производных.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Calculus
Optimization
Lagrange Multipliers
Partial Derivatives
Formulas
Lagrange function: L(x, y, λ) = f(x, y) + λ * (g(x, y))
Partial derivatives: ∂L/∂x = 0, ∂L/∂y = 0, ∂L/∂λ = 0
Theorems
Method of Lagrange Multipliers
Suitable Grade Level
Undergraduate Calculus
Related Recommendation
Finding Extrema with Lagrange Multipliers for f(x, y, z) = x^4 + y^4 + z^4 with Constraint x^2 + y^2 + z^2 = 1
Finding Conditional Extrema of the Function z=2x+y using Lagrange Multipliers
Finding Global Maxima and Minima using Lagrange Multipliers
Find the Minimum of a Multivariable Function Using Lagrange Multipliers
Find Extreme Values Using Lagrange Multipliers for f(x, y) = x^2 + 2y^2