Math Problem Statement

Найти условный экстремум функции z=x4+2x2 при условии x^2-2y-3=0

Solution

Для нахождения условного экстремума функции z=x4+2x2z = x^4 + 2x^2 при условии x22y3=0x^2 - 2y - 3 = 0 воспользуемся методом множителей Лагранжа.

Функция Лагранжа для задачи будет иметь вид: L(x,y,λ)=x4+2x2+λ(x22y3)\mathcal{L}(x, y, \lambda) = x^4 + 2x^2 + \lambda (x^2 - 2y - 3) где λ\lambda — множитель Лагранжа.

Теперь найдем частные производные по xx, yy и λ\lambda и приравняем их к нулю:

  1. Частная производная по xx: Lx=4x3+4x+2λx=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 4x^3 + 4x + 2\lambda x = 0

  2. Частная производная по yy: Ly=2λ=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = -2\lambda = 0

  3. Частная производная по λ\lambda: Lλ=x22y3=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = x^2 - 2y - 3 = 0

Решение системы уравнений

Рассмотрим каждое уравнение.

  1. Из второго уравнения 2λ=0-2\lambda = 0, получаем, что λ=0\lambda = 0.

  2. Подставляем λ=0\lambda = 0 в первое уравнение: 4x3+4x=04x^3 + 4x = 0 или 4x(x2+1)=04x(x^2 + 1) = 0 Отсюда x=0x = 0 (так как x2+10x^2 + 1 \neq 0 для всех xRx \in \mathbb{R}).

  3. Подставляем x=0x = 0 в третье уравнение: 022y3=0y=320^2 - 2y - 3 = 0 \Rightarrow y = -\frac{3}{2}

Таким образом, единственная точка, которая удовлетворяет всем условиям, это точка (x,y)=(0,32)(x, y) = (0, -\frac{3}{2}).

Значение функции в найденной точке

Теперь подставим x=0x = 0 в функцию z=x4+2x2z = x^4 + 2x^2: z=04+202=0z = 0^4 + 2 \cdot 0^2 = 0

Ответ

Условный экстремум функции zz при данных ограничениях достигается в точке (x,y)=(0,32)(x, y) = (0, -\frac{3}{2}), и значение функции z=0z = 0.


Желаете ли вы подробное объяснение каждого этапа или есть вопросы?

Вот несколько вопросов для дальнейшего изучения:

  1. Как работает метод множителей Лагранжа?
  2. Какие типы экстремумов можно найти с помощью множителей Лагранжа?
  3. Что означает «условный экстремум» в задачах оптимизации?
  4. Как проверить, является ли найденное значение максимумом или минимумом?
  5. Как применять метод Лагранжа для более сложных функций и условий?

Совет: При использовании метода множителей Лагранжа всегда проверяйте правильность исходного ограничения перед поиском производных.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Calculus
Optimization
Lagrange Multipliers
Partial Derivatives

Formulas

Lagrange function: L(x, y, λ) = f(x, y) + λ * (g(x, y))
Partial derivatives: ∂L/∂x = 0, ∂L/∂y = 0, ∂L/∂λ = 0

Theorems

Method of Lagrange Multipliers

Suitable Grade Level

Undergraduate Calculus