Для нахождения условных экстремумов функции $z = 2x + y$ при условии $4x^2 + y^2 = 1$, используем метод множителей Лагранжа. В этом случае наша целевая функция — это $f(x, y) = 2x + y$, а ограничение — $g(x, y) = 4x^2 + y^2 - 1 = 0$.

Шаги решения:

1. Запишем функцию Лагранжа: Функция Лагранжа выглядит следующим образом: $\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda g(x, y)$ Где $\lambda$ — множитель Лагранжа. В данном случае: $\mathcal{L}(x, y, \lambda) = (2x + y) - \lambda (4x^2 + y^2 - 1)$

2. Найдем частные производные и приравняем их к нулю: Найдем частные производные функции Лагранжа по $x$, $y$ и $\lambda$.

   • Производная по $x$: $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2 - \lambda (8x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2 = 8\lambda x \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{1}{4x}$

   • Производная по $y$: $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 1 - \lambda (2y) = 0 \quad \Rightarrow \quad 1 = 2\lambda y \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{1}{2y}$

   • Производная по $\lambda$: $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(4x^2 + y^2 - 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad 4x^2 + y^2 = 1$ Это и есть наше ограничение.

3. Решим систему уравнений: У нас есть два выражения для $\lambda$: $\lambda = \frac{1}{4x} \quad \text{и} \quad \lambda = \frac{1}{2y}$ Приравняем их: $\frac{1}{4x} = \frac{1}{2y} \quad \Rightarrow \quad 2y = 4x \quad \Rightarrow \quad y = 2x$

4. Подставим $y = 2x$ в ограничение: Подставим $y = 2x$ в уравнение ограничения $4x^2 + y^2 = 1$: $4x^2 + (2x)^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad 4x^2 + 4x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad 8x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{1}{8} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{8}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}$

5. Найдем соответствующие значения $y$: Так как $y = 2x$, то при $x = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}$: $y = \pm 2 \times \frac{\sqrt{2}}{4} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

6. Найдем значения функции $z$: Подставим найденные значения $x$ и $y$ в функцию $z = 2x + y$:

   • Для $x = \frac{\sqrt{2}}{4}$ и $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $z = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
   • Для $x = -\frac{\sqrt{2}}{4}$ и $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$: $z = 2 \times -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$

Ответ:

Условные экстремумы функции $z = 2x + y$ при $4x^2 + y^2 = 1$ достигаются в точках $\left( \frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ с $z = \sqrt{2}$ и $\left( -\frac{\sqrt{2}}{4}, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ с $z = -\sqrt{2}$.

Хотите ли вы узнать подробнее о методе Лагранжа или обсудить другие вопросы?

Дополнительные вопросы:

1. Что происходит, если использовать другой метод для нахождения экстремумов (например, метод подстановки)?
2. Как можно интерпретировать геометрически экстремумы функции с учетом ограничения?
3. Как изменится решение, если изменить форму ограничения, например, на $x^2 + y^2 = 1$?
4. В чем заключается отличие между методом Лагранжа и методом прямого подбора?
5. Как определить, является ли найденный экстремум минимумом или максимумом?

Совет: Метод Лагранжа особенно полезен, когда нужно найти экстремумы при сложных ограничениях, которые невозможно легко решить другими методами.