tentukan selang ke cekungan dan titik belok fungsi berikut f(x) = 2x⁵ - 15x⁴ + 30x³ - 6

Untuk menentukan selang kecekungan (konkavitas) dan titik belok dari fungsi \( f(x) = 2x^5 - 15x^4 + 30x^3 - 6 \), kita perlu melakukan beberapa langkah analisis kalkulus. Berikut adalah langkah-langkahnya:

### 1. Turunan Pertama
Turunan pertama diperlukan untuk menentukan fungsi naik atau turun, serta untuk membantu kita menemukan turunan kedua.

\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^5 - 15x^4 + 30x^3 - 6)
\]
\[
f'(x) = 10x^4 - 60x^3 + 90x^2
\]

### 2. Turunan Kedua
Turunan kedua diperlukan untuk menentukan kecekungan dan titik belok.

\[
f''(x) = \frac{d}{dx}(10x^4 - 60x^3 + 90x^2)
\]
\[
f''(x) = 40x^3 - 180x^2 + 180x
\]

### 3. Mencari Titik Kritis dari Turunan Kedua
Untuk menemukan titik belok, kita harus mencari nilai \( x \) di mana \( f''(x) = 0 \).

\[
40x^3 - 180x^2 + 180x = 0
\]
\[
x(40x^2 - 180x + 180) = 0
\]
\[
x(20x^2 - 90x + 90) = 0
\]

Kita mendapatkan satu solusi langsung, yaitu \( x = 0 \). Selanjutnya, kita mencari akar persamaan kuadrat:

\[
20x^2 - 90x + 90 = 0
\]

Menggunakan rumus kuadrat:

\[
x = \frac{-(-90) \pm \sqrt{(-90)^2 - 4(20)(90)}}{2(20)}
\]
\[
x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 7200}}{40}
\]
\[
x = \frac{90 \pm \sqrt{900}}{40}
\]
\[
x = \frac{90 \pm 30}{40}
\]

Dua solusi untuk \( x \) adalah:

\[
x_1 = \frac{90 + 30}{40} = 3
\]
\[
x_2 = \frac{90 - 30}{40} = 1.5
\]

Jadi, titik kritisnya adalah \( x = 0 \), \( x = 1.5 \), dan \( x = 3 \).

### 4. Menentukan Kecekungan dan Titik Belok
Untuk menentukan selang kecekungan, kita uji tanda dari \( f''(x) \) di interval antara titik kritis:

- Untuk \( x < 0 \), misalnya \( x = -1 \), maka \( f''(-1) = 40(-1)^3 - 180(-1)^2 + 180(-1) = -40 - 180 - 180 = -400 \), sehingga \( f''(x) < 0 \) (cekung ke bawah).
- Untuk \( 0 < x < 1.5 \), misalnya \( x = 1 \), maka \( f''(1) = 40(1)^3 - 180(1)^2 + 180(1) = 40 - 180 + 180 = 40 \), sehingga \( f''(x) > 0 \) (cekung ke atas).
- Untuk \( 1.5 < x < 3 \), misalnya \( x = 2 \), maka \( f''(2) = 40(2)^3 - 180(2)^2 + 180(2) = 320 - 720 + 360 = -40 \), sehingga \( f''(x) < 0 \) (cekung ke bawah).
- Untuk \( x > 3 \), misalnya \( x = 4 \), maka \( f''(4) = 40(4)^3 - 180(4)^2 + 180(4) = 2560 - 2880 + 720 = 400 \), sehingga \( f''(x) > 0 \) (cekung ke atas).

### 5. Titik Belok
Titik belok terjadi ketika \( f''(x) = 0 \) dan terjadi perubahan tanda dari \( f''(x) \). Dari analisis di atas, terdapat titik belok di \( x = 0 \), \( x = 1.5 \), dan \( x = 3 \).

### Hasil Akhir:
- **Kecekungan ke atas** pada interval \( (0, 1.5) \) dan \( (3, \infty) \).
- **Kecekungan ke bawah** pada interval \( (-\infty, 0) \) dan \( (1.5, 3) \).
- **Titik belok** pada \( x = 0 \), \( x = 1.5 \), dan \( x = 3 \).

Apakah Anda memerlukan penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?

### 5 Pertanyaan Terkait:
1. Bagaimana cara menentukan kecekungan suatu fungsi dari grafiknya?
2. Apa bedanya titik belok dan titik stasioner?
3. Bagaimana cara menentukan sifat suatu fungsi hanya dari turunan pertamanya?
4. Mengapa kita menggunakan turunan kedua untuk menentukan kecekungan?
5. Apakah setiap fungsi polinomial memiliki titik belok?

### Tip:
Selalu uji tanda dari turunan kedua di antara titik-titik kritis untuk memastikan perubahan kecekungan pada interval-interval tersebut.

Explore how to determine the concavity intervals and inflection points of the function f(x) = 2x⁵ - 15x⁴ + 30x³ - 6. This step-by-step solution includes the calculation of the first and second derivatives, the quadratic formula, and the application of the second derivative test to identify concave up and concave down intervals. Ideal for high school calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation