Math Problem Statement
tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi berikut f(x) = 2x⁵ - 15x⁴ + 30x³ - 6
Solution
Untuk menentukan selang kemonotonan dan titik ekstrim dari fungsi , kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut:
1. Turunkan Fungsi
Pertama-tama, kita cari turunan pertama untuk menentukan kemonotonan (kenaikan dan penurunan fungsi) dan titik-titik stasioner (yang mungkin menjadi titik ekstrim).
2. Cari Titik Stasioner
Titik stasioner adalah nilai yang membuat . Kita selesaikan persamaan :
Faktorkan persamaan:
Dari persamaan ini, kita mendapatkan dua solusi:
Jadi, dan adalah titik-titik stasioner.
3. Tentukan Kemonotonan
Untuk menentukan selang kemonotonan (di mana fungsi naik atau turun), kita perlu menganalisis tanda dari di sekitar titik stasioner.
-
Untuk : Misalkan , maka: Jadi, untuk , sehingga fungsi naik di selang ini.
-
Untuk : Misalkan , maka: Jadi, untuk , sehingga fungsi naik di selang ini.
-
Untuk : Misalkan , maka: Jadi, untuk , sehingga fungsi naik di selang ini.
4. Tentukan Titik Ekstrim
Karena ( f'(x) tidak pernah negatif atau nol kecuali pada titik-titik stasioner, tidak ada interval di mana fungsi menurun. Oleh karena itu, tidak ada titik ekstrim lokal yang dapat diidentifikasi dari analisis ini.
Kesimpulan:
- Fungsi naik pada seluruh daerah:
Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?
Berikut 5 pertanyaan yang mungkin relevan:
- Bagaimana menentukan turunan kedua untuk menemukan cekungan fungsi ini?
- Apa yang menyebabkan fungsi naik terus tanpa titik ekstrim?
- Bagaimana cara menggunakan uji turunan pertama untuk menemukan maksimum/minimum?
- Bagaimana cara mengevaluasi perilaku asimptotik untuk fungsi polinomial?
- Bagaimana langkah-langkah untuk memfaktorkan turunan lebih cepat?
Tip: Faktorisasi sering mempermudah pemecahan persamaan turunan lebih cepat dibandingkan mencoba langsung mencari akar persamaan secara manual.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Calculus
Monotonicity
Stationary Points
Polynomial Functions
Formulas
f'(x) = 10x⁴ - 60x³ + 90x²
Stationary points: f'(x) = 0
Theorems
First Derivative Test
Factorization of Polynomials
Suitable Grade Level
Grades 11-12 (Advanced Calculus)
Related Recommendation
Determine Concavity and Inflection Points for f(x) = 2x⁵ - 15x⁴ + 30x³ - 6
Find Maximum and Minimum of Polynomial 15x^5 - 5x^4 + 40x^3 + 6
Find Relative Maxima, Minima, and Inflection Points of Polynomial Function
Find the Stationary Points of 3x^5-10x^3+15x - Detailed Solution
Find Maximum and Minimum Values of f(x) = 5x^6 - 18x^5 + 15x^4 - 10