Math Problem Statement

tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi berikut f(x) = 2x⁵ - 15x⁴ + 30x³ - 6

Solution

Untuk menentukan selang kemonotonan dan titik ekstrim dari fungsi f(x)=2x515x4+30x36f(x) = 2x^5 - 15x^4 + 30x^3 - 6, kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Turunkan Fungsi f(x)f(x)

Pertama-tama, kita cari turunan pertama f(x)f'(x) untuk menentukan kemonotonan (kenaikan dan penurunan fungsi) dan titik-titik stasioner (yang mungkin menjadi titik ekstrim).

f(x)=ddx(2x515x4+30x36)f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 2x^5 - 15x^4 + 30x^3 - 6 \right) f(x)=10x460x3+90x2f'(x) = 10x^4 - 60x^3 + 90x^2

2. Cari Titik Stasioner

Titik stasioner adalah nilai xx yang membuat f(x)=0f'(x) = 0. Kita selesaikan persamaan f(x)=0f'(x) = 0:

10x460x3+90x2=010x^4 - 60x^3 + 90x^2 = 0 Faktorkan persamaan:

10x2(x26x+9)=010x^2(x^2 - 6x + 9) = 0 10x2(x3)2=010x^2(x - 3)^2 = 0

Dari persamaan ini, kita mendapatkan dua solusi: x=0danx=3x = 0 \quad \text{dan} \quad x = 3

Jadi, x=0x = 0 dan x=3x = 3 adalah titik-titik stasioner.

3. Tentukan Kemonotonan

Untuk menentukan selang kemonotonan (di mana fungsi naik atau turun), kita perlu menganalisis tanda dari f(x)f'(x) di sekitar titik stasioner.

  • Untuk x<0x < 0: Misalkan x=1x = -1, maka: f(1)=10(1)460(1)3+90(1)2=10+60+90=160f'(-1) = 10(-1)^4 - 60(-1)^3 + 90(-1)^2 = 10 + 60 + 90 = 160 Jadi, f(x)>0f'(x) > 0 untuk x<0x < 0, sehingga fungsi naik di selang ini.

  • Untuk 0<x<30 < x < 3: Misalkan x=1x = 1, maka: f(1)=10(1)460(1)3+90(1)2=1060+90=40f'(1) = 10(1)^4 - 60(1)^3 + 90(1)^2 = 10 - 60 + 90 = 40 Jadi, f(x)>0f'(x) > 0 untuk 0<x<30 < x < 3, sehingga fungsi naik di selang ini.

  • Untuk x>3x > 3: Misalkan x=4x = 4, maka: f(4)=10(4)460(4)3+90(4)2=10(256)60(64)+90(16)=25603840+1440=160f'(4) = 10(4)^4 - 60(4)^3 + 90(4)^2 = 10(256) - 60(64) + 90(16) = 2560 - 3840 + 1440 = 160 Jadi, f(x)>0f'(x) > 0 untuk x>3x > 3, sehingga fungsi naik di selang ini.

4. Tentukan Titik Ekstrim

Karena ( f'(x) tidak pernah negatif atau nol kecuali pada titik-titik stasioner, tidak ada interval di mana fungsi menurun. Oleh karena itu, tidak ada titik ekstrim lokal yang dapat diidentifikasi dari analisis ini.

Kesimpulan:

  • Fungsi naik pada seluruh daerah: (,)(-\infty, \infty)

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

Berikut 5 pertanyaan yang mungkin relevan:

  1. Bagaimana menentukan turunan kedua untuk menemukan cekungan fungsi ini?
  2. Apa yang menyebabkan fungsi naik terus tanpa titik ekstrim?
  3. Bagaimana cara menggunakan uji turunan pertama untuk menemukan maksimum/minimum?
  4. Bagaimana cara mengevaluasi perilaku asimptotik untuk fungsi polinomial?
  5. Bagaimana langkah-langkah untuk memfaktorkan turunan lebih cepat?

Tip: Faktorisasi sering mempermudah pemecahan persamaan turunan lebih cepat dibandingkan mencoba langsung mencari akar persamaan secara manual.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Calculus
Monotonicity
Stationary Points
Polynomial Functions

Formulas

f'(x) = 10x⁴ - 60x³ + 90x²
Stationary points: f'(x) = 0

Theorems

First Derivative Test
Factorization of Polynomials

Suitable Grade Level

Grades 11-12 (Advanced Calculus)