Untuk menentukan selang kemonotonan dan titik ekstrim dari fungsi $f(x) = 2x^5 - 15x^4 + 30x^3 - 6$, kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Turunkan Fungsi $f(x)$

Pertama-tama, kita cari turunan pertama $f'(x)$ untuk menentukan kemonotonan (kenaikan dan penurunan fungsi) dan titik-titik stasioner (yang mungkin menjadi titik ekstrim).

$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 2x^5 - 15x^4 + 30x^3 - 6 \right)$ $f'(x) = 10x^4 - 60x^3 + 90x^2$

2. Cari Titik Stasioner

Titik stasioner adalah nilai $x$ yang membuat $f'(x) = 0$. Kita selesaikan persamaan $f'(x) = 0$:

$10x^4 - 60x^3 + 90x^2 = 0$ Faktorkan persamaan:

$10x^2(x^2 - 6x + 9) = 0$ $10x^2(x - 3)^2 = 0$

Dari persamaan ini, kita mendapatkan dua solusi: $x = 0 \quad \text{dan} \quad x = 3$

Jadi, $x = 0$ dan $x = 3$ adalah titik-titik stasioner.

3. Tentukan Kemonotonan

Untuk menentukan selang kemonotonan (di mana fungsi naik atau turun), kita perlu menganalisis tanda dari $f'(x)$ di sekitar titik stasioner.

• Untuk $x < 0$: Misalkan $x = -1$, maka: $f'(-1) = 10(-1)^4 - 60(-1)^3 + 90(-1)^2 = 10 + 60 + 90 = 160$ Jadi, $f'(x) > 0$ untuk $x < 0$, sehingga fungsi naik di selang ini.

• Untuk $0 < x < 3$: Misalkan $x = 1$, maka: $f'(1) = 10(1)^4 - 60(1)^3 + 90(1)^2 = 10 - 60 + 90 = 40$ Jadi, $f'(x) > 0$ untuk $0 < x < 3$, sehingga fungsi naik di selang ini.

• Untuk $x > 3$: Misalkan $x = 4$, maka: $f'(4) = 10(4)^4 - 60(4)^3 + 90(4)^2 = 10(256) - 60(64) + 90(16) = 2560 - 3840 + 1440 = 160$ Jadi, $f'(x) > 0$ untuk $x > 3$, sehingga fungsi naik di selang ini.

4. Tentukan Titik Ekstrim

Karena ( f'(x) tidak pernah negatif atau nol kecuali pada titik-titik stasioner, tidak ada interval di mana fungsi menurun. Oleh karena itu, tidak ada titik ekstrim lokal yang dapat diidentifikasi dari analisis ini.

Kesimpulan:

• Fungsi naik pada seluruh daerah: $(-\infty, \infty)$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

Berikut 5 pertanyaan yang mungkin relevan:

1. Bagaimana menentukan turunan kedua untuk menemukan cekungan fungsi ini?
2. Apa yang menyebabkan fungsi naik terus tanpa titik ekstrim?
3. Bagaimana cara menggunakan uji turunan pertama untuk menemukan maksimum/minimum?
4. Bagaimana cara mengevaluasi perilaku asimptotik untuk fungsi polinomial?
5. Bagaimana langkah-langkah untuk memfaktorkan turunan lebih cepat?

Tip: Faktorisasi sering mempermudah pemecahan persamaan turunan lebih cepat dibandingkan mencoba langsung mencari akar persamaan secara manual.