tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi berikut
f(x) = 2x⁵ - 15x⁴ + 30x³ - 6

Untuk menentukan selang kemonotonan dan titik ekstrim dari fungsi \( f(x) = 2x^5 - 15x^4 + 30x^3 - 6 \), kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut:

### 1. Turunkan Fungsi \( f(x) \)
Pertama-tama, kita cari turunan pertama \( f'(x) \) untuk menentukan kemonotonan (kenaikan dan penurunan fungsi) dan titik-titik stasioner (yang mungkin menjadi titik ekstrim).

\[
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 2x^5 - 15x^4 + 30x^3 - 6 \right)
\]
\[
f'(x) = 10x^4 - 60x^3 + 90x^2
\]

### 2. Cari Titik Stasioner
Titik stasioner adalah nilai \( x \) yang membuat \( f'(x) = 0 \). Kita selesaikan persamaan \( f'(x) = 0 \):

\[
10x^4 - 60x^3 + 90x^2 = 0
\]
Faktorkan persamaan:

\[
10x^2(x^2 - 6x + 9) = 0
\]
\[
10x^2(x - 3)^2 = 0
\]

Dari persamaan ini, kita mendapatkan dua solusi:
\[
x = 0 \quad \text{dan} \quad x = 3
\]

Jadi, \( x = 0 \) dan \( x = 3 \) adalah titik-titik stasioner.

### 3. Tentukan Kemonotonan
Untuk menentukan selang kemonotonan (di mana fungsi naik atau turun), kita perlu menganalisis tanda dari \( f'(x) \) di sekitar titik stasioner.

- **Untuk \( x < 0 \)**:
  Misalkan \( x = -1 \), maka:
  \[
  f'(-1) = 10(-1)^4 - 60(-1)^3 + 90(-1)^2 = 10 + 60 + 90 = 160
  \]
  Jadi, \( f'(x) > 0 \) untuk \( x < 0 \), sehingga fungsi **naik** di selang ini.

- **Untuk \( 0 < x < 3 \)**:
  Misalkan \( x = 1 \), maka:
  \[
  f'(1) = 10(1)^4 - 60(1)^3 + 90(1)^2 = 10 - 60 + 90 = 40
  \]
  Jadi, \( f'(x) > 0 \) untuk \( 0 < x < 3 \), sehingga fungsi **naik** di selang ini.

- **Untuk \( x > 3 \)**:
  Misalkan \( x = 4 \), maka:
  \[
  f'(4) = 10(4)^4 - 60(4)^3 + 90(4)^2 = 10(256) - 60(64) + 90(16) = 2560 - 3840 + 1440 = 160
  \]
  Jadi, \( f'(x) > 0 \) untuk \( x > 3 \), sehingga fungsi **naik** di selang ini.

### 4. Tentukan Titik Ekstrim
Karena \( f'(x) tidak pernah negatif atau nol kecuali pada titik-titik stasioner, tidak ada interval di mana fungsi menurun. Oleh karena itu, tidak ada titik ekstrim lokal yang dapat diidentifikasi dari analisis ini.

### Kesimpulan:
- Fungsi **naik** pada seluruh daerah:
  \[
  (-\infty, \infty)
  \]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

Berikut 5 pertanyaan yang mungkin relevan:
1. Bagaimana menentukan turunan kedua untuk menemukan cekungan fungsi ini?
2. Apa yang menyebabkan fungsi naik terus tanpa titik ekstrim?
3. Bagaimana cara menggunakan uji turunan pertama untuk menemukan maksimum/minimum?
4. Bagaimana cara mengevaluasi perilaku asimptotik untuk fungsi polinomial?
5. Bagaimana langkah-langkah untuk memfaktorkan turunan lebih cepat?

**Tip:** Faktorisasi sering mempermudah pemecahan persamaan turunan lebih cepat dibandingkan mencoba langsung mencari akar persamaan secara manual.

tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi berikut f(x) = 2x⁵ - 15x⁴ + 30x³ - 6

Discover how to find the intervals of monotonicity and extreme points of the polynomial function f(x) = 2x⁵ - 15x⁴ + 30x³ - 6 using the first derivative. This detailed step-by-step explanation applies concepts from calculus, such as stationary points and polynomial factorization. Suitable for advanced high school students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation