Misalkan salah satu akar dari persamaan kuadrat x ^ 2 - 10x + a = 0 mempunyai tanda yang berlawanan dengan salah satu akar dari kuadrat x² + 10x - a = 0 dimana a adalah sebuah bilangan real, maka jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan x² + 2ax-5 = 0 adalah

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan beberapa konsep aljabar tentang akar-akar persamaan kuadrat dan hubungan di antara mereka. Berikut adalah langkah-langkahnya:

### Langkah 1: Menemukan Hubungan Akar
Misalkan persamaan pertama \(x^2 - 10x + a = 0\) memiliki akar \(p\) dan \(q\). Dari sifat-sifat akar persamaan kuadrat, kita tahu bahwa:
\[ p + q = 10 \]
\[ pq = a \]

Misalkan persamaan kedua \(x^2 + 10x - a = 0\) memiliki akar \(r\) dan \(s\). Dari sifat-sifat akar persamaan kuadrat, kita tahu bahwa:
\[ r + s = -10 \]
\[ rs = -a \]

Diberikan bahwa salah satu akar dari persamaan pertama memiliki tanda yang berlawanan dengan salah satu akar dari persamaan kedua. Misalkan \(p = -r\) (salah satu kemungkinannya). Maka \(q = 10 - p\) dan \(s = -10 - r\).

### Langkah 2: Menentukan Akar dengan Tanda Berlawanan
Misalkan \(p = -r\), maka:
\[ p + q = 10 \]
\[ -r + q = 10 \]
Sehingga, \(q = 10 + r\).

### Langkah 3: Menemukan Nilai \(a\)
Dari persamaan \(pq = a\):
\[ p(10 + r) = a \]
\[ -r(10 + r) = a \]
\[ a = -10r - r^2 \]

Dari persamaan \(rs = -a\):
\[ r(-10 - r) = -a \]
\[ -10r - r^2 = -a \]
Sehingga, \(a = 10r + r^2\).

### Langkah 4: Menentukan Akar-Akar Persamaan \(x^2 + 2ax - 5 = 0\)
Kita memiliki persamaan kuadrat baru \(x^2 + 2ax - 5 = 0\).

Dengan \(a = 10r + r^2\), maka persamaan menjadi:
\[ x^2 + 2(10r + r^2)x - 5 = 0 \]
\[ x^2 + (20r + 2r^2)x - 5 = 0 \]

### Langkah 5: Menentukan Jumlah Kuadrat dari Akar-Akar
Misalkan akar-akar dari persamaan ini adalah \(u\) dan \(v\). Dari sifat akar persamaan kuadrat, kita tahu:
\[ u + v = -(20r + 2r^2) \]
\[ uv = -5 \]

Kita diminta untuk menemukan jumlah kuadrat dari akar-akar, yaitu:
\[ u^2 + v^2 \]

Kita dapat menggunakan identitas:
\[ u^2 + v^2 = (u + v)^2 - 2uv \]

Dengan substitusi:
\[ u + v = -(20r + 2r^2) \]
\[ uv = -5 \]

Maka,
\[ u^2 + v^2 = (-(20r + 2r^2))^2 - 2(-5) \]
\[ u^2 + v^2 = (20r + 2r^2)^2 + 10 \]

Sekarang, kita hitung:
\[ (20r + 2r^2)^2 = 400r^2 + 80r^3 + 4r^4 \]

Jadi,
\[ u^2 + v^2 = 400r^2 + 80r^3 + 4r^4 + 10 \]

Ini adalah jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan \(x^2 + 2ax - 5 = 0\).

Apakah ada bagian yang memerlukan penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain yang ingin diajukan?

Berikut adalah beberapa pertanyaan yang mungkin ingin Anda tanyakan:
1. Bagaimana cara menemukan akar persamaan kuadrat dengan metode faktorisasi?
2. Apa hubungan antara koefisien persamaan kuadrat dan akar-akarnya?
3. Bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat dengan metode melengkapkan kuadrat?
4. Apa aplikasi persamaan kuadrat dalam kehidupan sehari-hari?
5. Bagaimana cara menggunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan persamaan kuadrat?

Tip: Ingatlah bahwa setiap persamaan kuadrat selalu memiliki dua akar, yang bisa berupa bilangan real atau kompleks tergantung pada diskriminan persamaan.

Learn how to find the sum of squares of roots in quadratic equations through detailed algebraic steps. This problem involves relating roots of different quadratic equations and applying algebraic identities. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation