Aufgabe 3. Skizzieren Sie für die folgenden komplexen Zahlen jeweils z und iz
in der Gaußschen Zahlenebene. Was bewirkt die Multiplikation mit i?
z1 = 1 − i; z2 = 1 + i; z3 = −2

Um die Aufgabe zu lösen, skizzieren wir zunächst die komplexen Zahlen \( z \) und \( iz \) für die gegebenen Werte in der Gaußschen Zahlenebene und analysieren die Wirkung der Multiplikation mit \( i \).

### Gegebene Zahlen:
- \( z_1 = 1 - i \)
- \( z_2 = 1 + i \)
- \( z_3 = -2 \)

#### Schritt 1: Darstellung der komplexen Zahlen \( z \) in der Gaußschen Zahlenebene
In der Gaußschen Zahlenebene (auch komplexe Ebene genannt) wird die reelle Achse als x-Achse (Realteil) und die imaginäre Achse als y-Achse (Imaginärteil) dargestellt.

- \( z_1 = 1 - i \): Dies entspricht dem Punkt \( (1, -1) \) (1 entlang der Realachse, -1 entlang der Imaginärachse).
- \( z_2 = 1 + i \): Dies entspricht dem Punkt \( (1, 1) \) (1 entlang der Realachse, 1 entlang der Imaginärachse).
- \( z_3 = -2 \): Dies entspricht dem Punkt \( (-2, 0) \) (nur Realteil -2, keine Imaginärkomponente).

#### Schritt 2: Berechnung von \( iz \)
Die Multiplikation einer komplexen Zahl mit \( i \) entspricht einer Drehung um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Gaußschen Zahlenebene.

- \( iz_1 = i(1 - i) = i - i^2 = i + 1 = 1 + i \): Dies entspricht dem Punkt \( (1, 1) \).
- \( iz_2 = i(1 + i) = i + i^2 = i - 1 = -1 + i \): Dies entspricht dem Punkt \( (-1, 1) \).
- \( iz_3 = i(-2) = -2i \): Dies entspricht dem Punkt \( (0, -2) \).

#### Schritt 3: Wirkung der Multiplikation mit \( i \)
Die Multiplikation einer komplexen Zahl \( z \) mit \( i \) bewirkt eine **Drehung um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn** in der Gaußschen Zahlenebene. Dies sieht man daran, dass:

- \( z_1 = 1 - i \) bei der Multiplikation mit \( i \) auf \( 1 + i \) rotiert.
- \( z_2 = 1 + i \) bei der Multiplikation mit \( i \) auf \( -1 + i \) rotiert.
- \( z_3 = -2 \) bei der Multiplikation mit \( i \) auf \( 0 - 2i \) rotiert.

### Zusammenfassung:
Die Multiplikation mit \( i \) bewirkt eine Drehung der komplexen Zahl um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Gaußschen Zahlenebene.

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**Tipp:** Die Multiplikation mit \( i \) entspricht der Drehung um 90 Grad, und die Multiplikation mit \( i^n \) dreht die Zahl um \( 90n \)-Grad-Schritte.

Aufgabe 3. Skizzieren Sie für die folgenden komplexen Zahlen jeweils z und iz in der Gaußschen Zahlenebene. Was bewirkt die Multiplikation mit i? z1 = 1 − i; z2 = 1 + i; z3 = −2

Explore how multiplying complex numbers by i results in a 90-degree rotation in the Gaussian plane. Understand the effect on points like z1 = 1 - i, z2 = 1 + i, and z3 = -2, and learn the geometric transformation involved.

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